佩服数

一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，将其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$ 的约数相加后，再减掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，若等于本身，就称它为是佩服数。

例如12的约数有1、2、3、4、6、12。其中存在一个约数2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$ ^[2]，同时，12也是最小的佩服数^[1]。

更为严格地说，佩服数是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$ 成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即${\displaystyle n}$ 的所有正因数（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$ 是n的其中一个约数。

例如20的约数有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的结果为${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$ ，存在一个约数1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$ ，所以20可称为佩服数。

佩服数是过剩数的一个子集，换句话说所有佩服数都是过剩数^[3]。哈哈哈哈哈哈

最小的一些佩服数是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS数列A111592）

以上列出的佩服数都是偶数。最小的奇佩服数是945^[4]，同时最小的奇过剩数、奇半完全数^[5]也是945。

前几个奇佩服数是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS数列A109729）

连续的佩服数^{[注 3]}比连续的过剩数还要少。在10¹²以下，只有两组连续佩服数，分别是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服数的分布并不像过剩数那样，过剩数有着非零的自然密度^[6]，而佩服数的成长率非线性的，例如小于100的佩服数有13个、小于1,000的佩服数有65个、小于10,000的佩服数有379个（OEIS数列A109727），其密度随着数字尺度变大而逐渐减少。

所有大于3的素数的六倍都是佩服数^{[1][注 2]}，更精确地说，所有的素数与素因数不含该素数之完全数的乘积都是佩服数^{[注 4]}。

有一种与佩服数类似但不太一样的定义：一个正整数除了本身外之所有约数中，存在一个约数${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，将其他不是本身的约数相加后，再减掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，等于本身。有这些性质的前几个数有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS数列A153501）

例如18的约数有1、2、3、6、9、18有一个约数3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-3=18}$ 。

有这种性质的数最小的奇数是173369889^[7]，同时也是最小的奇拟完全数（OEIS数列A181595）^[8]，但不是佩服数。

特别的，这些数字正好与盈完全数（Abundant-perfect numbers）重叠，盈完全数的定义为：自己的约数和（不包含自己）减去自己得到的数可以整除自己。

符合这种定义的数未必是佩服数，例如18虽然符合这种定义，但并未符合佩服数的定义^[9]，因此18不是佩服数^{[注 5]}。

萨克斯参考了亲和数的定义，定义了一个新的数叫做相容数（compatible numbers），其定义为有一对数字N和M，分别各存在一个约数d_N和d_M，N将其他不是本身、不是d_N的约数相加后，再减掉d_N，得到M、而M将其他不是本身、不是d_M的约数相加后，再减掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前几对相容数是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS数列A109797）和（OEIS数列A109798）

有一种与佩服数类似但相反的定义：若一个正整数除了本身外之所有约数，存在一个约数d'，将其他不是本身的约数相加后，再加上d'，等于本身。有这些性质的前几个数有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[注 6]}

例如10的约数有1、2、5、10有一个约数2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$ 

特别的，这些数字正好与亏完全数（Deficient-perfect numbers）重叠，亏完全数的定义为：自己减去自己的约数和（不包含自己）得到的数可以整除自己^[10][11]，在这个定义中1也符合，因为1不含自己的约数和是0，1减去零是1，当然可以整除1。

最小的几个亏完全数是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS数列A271816）

所有二的乘幂都是亏完全数^{[注 7]}，除了二的乘幂之外的亏完全数有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS数列A060326）

楚姆克勒数（Zumkeller numbers）是指约数可以分为相同总和的两组数字。例如48的约数可以分为两组：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一个楚姆克勒数^[13]。

所有佩服数都是楚姆克勒数，因为佩服数中的相减约数（即其他约数和减去此约数会等于本身的那个约数）以外的约数存在一个约数，其与佩服数中的相减约数相加后会等于其他约数之和。

前几个楚姆克勒数是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS数列A083207）

• 高合成数
• 完全数
• 婚约数
• 亲和数
• 丰数
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全数

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （页面存档备份，存于互联网档案馆）