佩服數

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，將其他不是本身、不是${\displaystyle d\,^{\prime }}$ 的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，若等於本身，就稱它為是佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得${\displaystyle (1+3+4+6)-2=12}$ ^[2]，同時，12也是最小的佩服數^[1]。

更为严格地说，佩服數是指使得公式${\displaystyle \sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n}$ 成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即${\displaystyle n}$ 的所有正因数（包括其本身n）之和。${\displaystyle d\,^{\prime }}$ 是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的結果為${\displaystyle \sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42}$ ，存在一個因數1，使得${\displaystyle \sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2}$ ，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數^[3]。哈哈哈哈哈哈

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶数。最小的奇佩服數是945^[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數^[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數^{[註 3]}比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度^[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數^{[1][註 2]}，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數^{[註 4]}。

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義：一個正整數除了本身外之所有因數中，存在一個因數${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，將其他不是本身的因數相加後，再減掉${\displaystyle d\,^{\prime }}$ ，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

12、18、20、24、40、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……（OEIS數列A153501）

例如18的因數有1、2、3、6、9、18有一個因數3，使得${\displaystyle \left(1+2+3+6+9\right)-3=18}$ 。

有這種性質的數最小的奇數是173369889^[7]，同時也是最小的奇擬完全數（OEIS數列A181595）^[8]，但不是佩服數。

特別的，這些數字正好與盈完全數（Abundant-perfect numbers）重疊，盈完全數的定義為：自己的因數和（不包含自己）減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數，例如18雖然符合這種定義，但並未符合佩服數的定義^[9]，因此18不是佩服數^{[註 5]}。

薩克斯參考了親和數的定義，定義了一個新的数叫做相容數（compatible numbers），其定義為有一對數字N和M，分別各存在一個因數d_N和d_M，N將其他不是本身、不是d_N的因數相加後，再減掉d_N，得到M、而M將其他不是本身、不是d_M的因數相加後，再減掉d_M，得到N。

例如30和40^[9]：

30：2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40

40：1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是：

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……（OEIS數列A109797）和（OEIS數列A109798）

有一種與佩服數類似但相反的定義：若一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數d'，將其他不是本身的因數相加後，再加上d'，等於本身。有這些性質的前幾個數有：

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……^{[註 6]}

例如10的因數有1、2、5、10有一個因數2，使得${\displaystyle (1+2+5)+2=10}$ 

特別的，這些數字正好與虧完全數（Deficient-perfect numbers）重疊，虧完全數的定義為：自己減去自己的因數和（不包含自己）得到的數可以整除自己^[10][11]，在這個定義中1也符合，因為1不含自己的因數和是0，1減去零是1，當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是：

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……（OEIS數列A271816）

所有二的乘冪都是虧完全數^{[註 7]}，除了二的乘冪之外的虧完全數有：

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……（OEIS數列A060326）

楚姆克勒數（Zumkeller numbers）是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如48的因數可以分為兩組：{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48}，其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48，因此48是一個楚姆克勒數^[13]。

所有佩服數都是楚姆克勒數，因為佩服數中的相減因數（即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數）以外的因數存在一個因數，其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是：

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……（OEIS數列A083207）

• 高合成數
• 完全數
• 婚約數
• 親和數
• 豐數
• 亏数
• 梅森素数
• 半完全數

• Charles R Greathouse IV, Table of n, a(n) for n = 1..10000 （页面存档备份，存于互联网档案馆）