Фурье рәте

Фурье рәте — ${\displaystyle \tau }$ периодлы теләгән ${\displaystyle f}$ функциясен гармоник тирбәнешләрнең (гармоник дулкыннар) чиксез суммасы - рәте төрендә күрсәтү:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Әлеге рәт шулай ук болай язылып була:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},}$

биредә

${\displaystyle A_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче гармоник тирбәнешнең амплитудасы,

${\displaystyle 2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega }$ — гармоник тирбәнешнең әйләнү ешлыгы,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче тирбәнешнең башлангыч фазасы,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче комплекс амплитуда

Фурье рәте оптикада, дулкыннар теориясендә, санак технологияләрендә, кырның квант теориясендә, медицинада, югары математикада һ.б. өлкәләрдә киң кулланыла.

Гомуми очракта теләгән функцияне ортогональ функцияләрнең Фурье рәтенә таркатып була.

${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ функциясенең Фурье тригонометрик рәте дип түбәндәге рәт атала:

биредә

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ һәм ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) саннары - ${\displaystyle f}$ функциясенең Фурье коэффициентлары дип атала

Рәт (1) ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ фәзасында ${\displaystyle f}$ функциясенә җыела. Бүтән сүзләр белән: рәтнең өлешчә суммалары ${\displaystyle S_{k}(x)}$:

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$,

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}$. Ягъни җыелучанлык күрсәтелә.

Еш кына синус һәм косинус урынына уйланма аргументтан экспонентаны куллану кулайрак була:

• Эйлер формуласы буенча функцияләр системасы карала:

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$.

Әлеге функцияләр - ортогональ һәм теләгән кайсы ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ функциясен алар буенча Фурье рәтенә таркатып була:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$,

биредә:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$.

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0}$

• Комплекс функция шулай да Фурье рәтенә таркатыла.

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.