| dbo:abstract
|
- En teoria de nombres, la llei de reciprocitat quadràtica és un teorema d'aritmètica modular que dona condicions de resolubilitat d'equacions quadràtiques mòdul nombres primers. Hi ha diversos enunciats equivalents, que consisteixen en dos «complements» i la llei de reciprocitat: Siguin p i q dos nombres primers diferents, imparells i positius. Aleshores (Complement 1) x² ≡ −1 (mod p) és resoluble si i només si p ≡ 1 (mod 4). (Complement 2) x² ≡ 2 (mod p) és resoluble si i només si p ≡ ±1 (mod 8). (Reciprocitat quadràtica) Sigui q* = ±q, on el signe és positiu si q ≡ 1 (mod 4) i negatiu si q ≡ −1 (mod 4). (I.e. |q*| = q i q*≡ 1 (mod 4).) Aleshores x² ≡ p (mod q) és resoluble si i només si x² ≡ q* (mod p) és resoluble. Tot i que la llei indica quan una equació quadràtica té solució mòdul un nombre primer, no proporciona cap ajuda per trobar la solució. Aquest teorema fou conjecturat per Euler i Legendre i demostrat per Gauss. (ca)
- في نظرية الأعداد، قانون التقابل التربيعي (بالإنجليزية: Quadratic reciprocity) هي مبرهنة تتعلق بالحسابيات النمطية تعطي الشروط التي ينبغي تحقيقها من أجل أن تكون معادلة تربيعية ما بتردد عدد أولي ما قابلة للحلحلة.يعبر عن هذا القانون بصيغ مختلفة، ولكن أكثرها انتشارا هي كما يلي: حيث p وq عددان أوليان فرديان مختلفان وحيث يعني رمز لوجاندر، المعرف كما يلي: (ar)
- Das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer (anderen) Zahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie. Obwohl es elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes gibt, liegt dessen Wesen relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern mit einer primitiven Einheitswurzel . Gauß selbst hat mehrere methodisch verschiedene Beweise vorgelegt. Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht Aussagen über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in der modularen Arithmetik, die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades führt auf die höheren Reziprozitätsgesetze, was eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie seit Gauß war. Den Fall dritten Grades (kubisches Reziprozitätsgesetz) behandelte Gotthold Eisenstein, den Fall vierten Grades (biquadratisches Reziprozitätsgesetz) Gauß. (de)
- En matemática, dentro de la teoría de números, la ley de reciprocidad cuadrática designa al «teorema áureo» que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas: donde y son números primos impares. Esta proposición fue descubierta por Carl Friedrich Gauss a los 18 años de edad y la demostró un año después. Es reconocida como uno de los resultados más preciosos de la teoría de los números; fue formulada por el prolífico Leonhard Euler en 1783, y trece años después se encargó de probarla Gauss. (es)
- En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801. Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques :
* étant donné un nombre premier p, déterminer, parmi les entiers, lesquels sont des carrés modulo p et lesquels n'en sont pas ;
* étant donné un entier n, déterminer, parmi les nombres premiers, modulo lesquels n est un carré et modulo lesquels il n'en est pas un. Elle est considérée comme un des théorèmes les plus importants de la théorie des nombres, et a de nombreuses généralisations. (fr)
- In number theory, the law of quadratic reciprocity is a theorem about modular arithmetic that gives conditions for the solvability of quadratic equations modulo prime numbers. Due to its subtlety, it has many formulations, but the most standard statement is: Law of quadratic reciprocity — Let p and q be distinct odd prime numbers, and define the Legendre symbol as: Then: This law, together with its , allows the easy calculation of any Legendre symbol, making it possible to determine whether there is an integer solution for any quadratic equation of the form for an odd prime ; that is, to determine the "perfect squares" modulo . However, this is a non-constructive result: it gives no help at all for finding a specific solution; for this, other methods are required. For example, in the case using Euler's criterion one can give an explicit formula for the "square roots" modulo of a quadratic residue , namely, indeed, This formula only works if it is known in advance that is a quadratic residue, which can be checked using the law of quadratic reciprocity. The quadratic reciprocity theorem was conjectured by Euler and Legendre and first proved by Gauss, who referred to it as the "fundamental theorem" in his Disquisitiones Arithmeticae and his papers, writing The fundamental theorem must certainly be regarded as one of the most elegant of its type. (Art. 151) Privately, Gauss referred to it as the "golden theorem". He published six proofs for it, and two more were found in his posthumous papers. There are now over 240 published proofs. The shortest known proof is included , together with short proofs of the law's supplements (the Legendre symbols of −1 and 2). Generalizing the reciprocity law to higher powers has been a leading problem in mathematics, and has been crucial to the development of much of the machinery of modern algebra, number theory, and algebraic geometry, culminating in Artin reciprocity, class field theory, and the Langlands program. (en)
- 수론에서 이차 상호 법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다. (ko)
- In matematica, nella teoria dei numeri, la legge di reciprocità quadratica riguarda la risolubilità relativa in aritmetica modulare di due equazioni quadratiche correlate, dando le condizioni per cui entrambe, nessuna o una sola di esse hanno soluzione. Come conseguenza, ci permette di determinare la risolubilità di una qualunque equazione quadratica in aritmetica modulare. È stata inizialmente congetturata da Eulero e Legendre, e dimostrata in maniera soddisfacente da Gauss nel 1796. (it)
- De wet van de kwadratische reciprociteit is een stelling uit het modulair rekenen, een deelgebied van de getaltheorie, die voorwaarden geeft voor de oplosbaarheid van kwadratische vergelijkingen modulo een priemgetal. Er zijn enkele equivalente formuleringen van de stelling, een tweetal aanvullingen en de versie van Legendre. (nl)
- Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre. (pl)
- 平方剰余（へいほうじょうよ、英: quadratic residue）とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則（へいほうじょうよのそうごほうそく、英: quadratic reciprocity）は、ある整数 a が別の整数 p の平方剰余であるか否かを判定する法則である。 (ja)
- Em matemática, dentro da teoria dos números a lei da reciprocidade quadrática designa o teorema que relaciona a possibilidade de serem solucionadas duas congruências de segundo grau relacionadas: onde e são números primos ímpares. O enunciado do teorema é o seguinte: Se nenhum dos primos ou pertence à progressão aritmética então uma das congruências tem solução se e somente se a outra não tem solução. Se algum dos primos pertence à progressão então ou ambas as congruências tem solução, ou nenhuma das duas tem solução. O teorema foi conjecturado por Euler e Legendre, mas foi demonstrado pela primeira vez em 1801 por Gauss, em seu livro , onde apresenta duas demonstrações do mesmo. Gauss lhe dava grande valor e o denominou teorema áureo. O teorema foi enunciado inicialmente por Euler em 1742 em sua carta a Goldbach. Legendre em 1798 publicou uma demonstração que se baseava em argumentos não provados. O enunciado pode ser simplificado pela utilização do símbolo de Legendre: então o enunciado do teorema pode resumir-se da seguinte forma: Como é par se alguns dos primos p ou q é congruente com 1 mod 4, e é ímpar em outro caso, é igual a 1 se p o q é congruente com 1 mod 4, e é igual a –1 se ambos são congruentes com 3 mod 4. No livro Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, de Franz Lemmermeyer, publicado em 2000, aparecem citadas 196 demonstrações diferentes da lei de reciprocidade quadrática. Algumas das demostrações mais sensíveis da lei de reciprocidade quadrática utilizam o lema de Gauss que trata sobre resíduos quadráticos, e que o mesmo utilizou em dois de suas oito demostrações. Existem outras leis de reciprocidade: , e de graus superiores ou de natureza algo diferente, ainda que normalmente se encontram fora do âmbito da aritmética de números inteiros, e é necessário acudir a corpos de números algébricos. (pt)
- Den kvadratiska reciprocitetssatsen, förmodad av Euler och Legendre och först bevisad av Gauss, kopplar samman lösbarheten av två relaterade kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Satsen, som av Gauss benämndes Theorema Aureum, det gyllene teoremet, gör det möjligt att bestämma lösbarheten för alla kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Antag att p och q är två olika udda primtal. Om åtminstone en av dem är kongruent 1 modulo 4 så har kongruensen en lösning x om och endast om kongruensen har en lösning y. (De två lösningarna är i allmänhet olika.) Om å andra sidan båda primtalen är kongruenta 3 modulo 4 så har kongruensen en lösning x om och endast om kongruensen saknar lösning. En alternativ formulering av satsen kan skrivas: Antingen är båda ekvationerna ovan lösbara eller ingen av dem, såvida inte både p och q är av typen 4n + 3, för i så fall är antingen den ena eller den andra ekvationen lösbar. Om man använder Legendresymbolen , så kan detta sammanfattas som Lemmermeyer samlade år 2000 i en bok 196 olika publicerade bevis för den kvadratiska reciprocitetssatsen. Per 2018 finns nästan 250 olika bevis framlagda för denna sats. Det finns en kubisk reciprocitetsats och andra . (sv)
- Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то два сравнения либо оба имеют решения для либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же оба имеют вид то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений. (ru)
- 在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。 二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数 和 ， 其中是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。 欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”： 这个定理肯定属于最优雅的基本定理。(Art. 151) 私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。 高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。 (zh)
- В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці . (uk)
|
| rdfs:comment
|
- في نظرية الأعداد، قانون التقابل التربيعي (بالإنجليزية: Quadratic reciprocity) هي مبرهنة تتعلق بالحسابيات النمطية تعطي الشروط التي ينبغي تحقيقها من أجل أن تكون معادلة تربيعية ما بتردد عدد أولي ما قابلة للحلحلة.يعبر عن هذا القانون بصيغ مختلفة، ولكن أكثرها انتشارا هي كما يلي: حيث p وq عددان أوليان فرديان مختلفان وحيث يعني رمز لوجاندر، المعرف كما يلي: (ar)
- En matemática, dentro de la teoría de números, la ley de reciprocidad cuadrática designa al «teorema áureo» que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas: donde y son números primos impares. Esta proposición fue descubierta por Carl Friedrich Gauss a los 18 años de edad y la demostró un año después. Es reconocida como uno de los resultados más preciosos de la teoría de los números; fue formulada por el prolífico Leonhard Euler en 1783, y trece años después se encargó de probarla Gauss. (es)
- 수론에서 이차 상호 법칙(二次相互法則, 영어: law of quadratic reciprocity)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다. (ko)
- In matematica, nella teoria dei numeri, la legge di reciprocità quadratica riguarda la risolubilità relativa in aritmetica modulare di due equazioni quadratiche correlate, dando le condizioni per cui entrambe, nessuna o una sola di esse hanno soluzione. Come conseguenza, ci permette di determinare la risolubilità di una qualunque equazione quadratica in aritmetica modulare. È stata inizialmente congetturata da Eulero e Legendre, e dimostrata in maniera soddisfacente da Gauss nel 1796. (it)
- De wet van de kwadratische reciprociteit is een stelling uit het modulair rekenen, een deelgebied van de getaltheorie, die voorwaarden geeft voor de oplosbaarheid van kwadratische vergelijkingen modulo een priemgetal. Er zijn enkele equivalente formuleringen van de stelling, een tweetal aanvullingen en de versie van Legendre. (nl)
- Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre. (pl)
- 平方剰余（へいほうじょうよ、英: quadratic residue）とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則（へいほうじょうよのそうごほうそく、英: quadratic reciprocity）は、ある整数 a が別の整数 p の平方剰余であるか否かを判定する法則である。 (ja)
- Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то два сравнения либо оба имеют решения для либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же оба имеют вид то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений. (ru)
- 在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（Law of Quadratic Reciprocity）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。 二次互反律常用勒让德符号表述：对于两个奇素数 和 ， 其中是勒让德符号。但是对于更一般的雅可比符号和希尔伯特符号也有对应的二次互反律。 欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”： 这个定理肯定属于最优雅的基本定理。(Art. 151) 私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。 高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。 (zh)
- В математиці, а точніше в теорії чисел, квадратичний закон взаємності — твердження, що стосується розв'язності квадратичних рівнянь у модульній арифметиці . (uk)
- En teoria de nombres, la llei de reciprocitat quadràtica és un teorema d'aritmètica modular que dona condicions de resolubilitat d'equacions quadràtiques mòdul nombres primers. Hi ha diversos enunciats equivalents, que consisteixen en dos «complements» i la llei de reciprocitat: Siguin p i q dos nombres primers diferents, imparells i positius. Aleshores (Complement 1) x² ≡ −1 (mod p) és resoluble si i només si p ≡ 1 (mod 4). (Complement 2) x² ≡ 2 (mod p) és resoluble si i només si p ≡ ±1 (mod 8). (Reciprocitat quadràtica) x² ≡ p (mod q) és resoluble si i només si x² ≡ q* (mod p) és resoluble. (ca)
- Das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer (anderen) Zahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie. Obwohl es elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes gibt, liegt dessen Wesen relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern mit einer primitiven Einheitswurzel . Gauß selbst hat mehrere methodisch verschiedene Beweise vorgelegt. (de)
- En mathématiques, en particulier en théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, établit des liens entre les nombres premiers ; plus précisément, elle décrit la possibilité d'exprimer un nombre premier comme un carré modulo un autre nombre premier. Conjecturée par Euler et reformulée par Legendre, elle a été correctement démontrée pour la première fois par Gauss en 1801. Elle permet de résoudre les deux problèmes de base de la théorie des résidus quadratiques : (fr)
- In number theory, the law of quadratic reciprocity is a theorem about modular arithmetic that gives conditions for the solvability of quadratic equations modulo prime numbers. Due to its subtlety, it has many formulations, but the most standard statement is: Law of quadratic reciprocity — Let p and q be distinct odd prime numbers, and define the Legendre symbol as: Then: indeed, This formula only works if it is known in advance that is a quadratic residue, which can be checked using the law of quadratic reciprocity. (en)
- Em matemática, dentro da teoria dos números a lei da reciprocidade quadrática designa o teorema que relaciona a possibilidade de serem solucionadas duas congruências de segundo grau relacionadas: onde e são números primos ímpares. O enunciado do teorema é o seguinte: Se nenhum dos primos ou pertence à progressão aritmética então uma das congruências tem solução se e somente se a outra não tem solução. Se algum dos primos pertence à progressão então ou ambas as congruências tem solução, ou nenhuma das duas tem solução. O enunciado pode ser simplificado pela utilização do símbolo de Legendre: (pt)
- Den kvadratiska reciprocitetssatsen, förmodad av Euler och Legendre och först bevisad av Gauss, kopplar samman lösbarheten av två relaterade kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Satsen, som av Gauss benämndes Theorema Aureum, det gyllene teoremet, gör det möjligt att bestämma lösbarheten för alla kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Antag att p och q är två olika udda primtal. Om åtminstone en av dem är kongruent 1 modulo 4 så har kongruensen en lösning x om och endast om kongruensen en lösning x om och endast om kongruensen saknar lösning. (sv)
|