Peanos kurva

Peanos kurva upptäcktes 1890 av den italienske matematikern Giuseppe Peano och det var den första kontinuerliga kurvan som kunde täcka en hel kvadrat. Peanos upptäckt har sedan gett upphov till flera andra rumsfyllande kurvor både i planet och i högre dimensioner. Rumsfyllande kurvor av dimension 2 kallas dock ofta för Peanos kurvor till upptäckarens ära.

1878 gjorde den rysk-tyske matematikern Georg Cantor en intressant upptäckt. Han fann att två ändliga, släta mångfalder oberoende av dess dimensioner har samma kardinalitet. Vilket med enklare språk betyder att två ytor av ändlig dimension till exempel en linje och ett plan innehåller lika många punkter^{[källa behövs]}. Detta innebär att man skulle kunna avbilda enhetslinjen [0,1] på enhetskvadraten ${\displaystyle [0,1]^{2}}$ bijektivt. Det vill säga att varje element i [0,1] motsvarar ett och endast ett element i ${\displaystyle [0,1]^{2}}$ och tvärtom.

Cantors upptäckt skapade en mängd frågor, till exempel kan en sådan avbildning vara kontinuerlig? Eugen Netto visade 1879 inga sådana kontinuerliga kurvor existerade om bijektiviteten skulle uppfyllas. Då undrade man om det fanns kontinuerliga avbildningar då bijektiviteten sänktes till surjektivitet. Alltså om det fanns kontinuerliga avbildningar från enhetslinjen till enhetskvadraten som passerar varje punkt i kvadraten. Peano fann 1890 att sådana kurvor existerade.

Peano gjorde sin upptäckt analytiskt, det är dock lättare att förstå kurvans innebörd grafiskt. Den tyske matematikern David Hilbert var den första som insåg hur man kunde skapa kurvorna geometriskt. Han förstod att om enhetslinjen kan avbildas kontinuerligt på enhetskvadraten, kan man dela upp enhetslinjen i fyra lika stora intervall och avbildningen från dessa skulle hamna i fyra lika stora underkvadrater. Dessa kan sen i sin tur delas upp i fyra nya delar. När man delat intervallen och kvadraterna så de blivit godtyckligt små har man fått en peanokurva. Bilden visar hur man genererar en sådan kurva enligt Hilberts idé. Fast till skillnad från Hilbert använder bilden nio underkvadrater men principen är densamma.

Peanos kurva avbildar ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow [0,1]^{2}}$ och funktionen är definierad enligt ett trinärt system,

${\displaystyle 0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}\cdots ={\frac {t_{1}}{3}}+{\frac {t_{2}}{3^{2}}}+{\frac {t_{3}}{3^{3}}}+\cdots ,\quad t_{j}=0,1,2.}$

Peano skapade sin avbildning med hjälp av operatorn,

${\displaystyle kt_{j}=2-t_{j}.}$

Peanos kurva avbildar ett trinärt bråk på en punkt i enhetskvadraten enligt

${\displaystyle f\left(0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}\cdots \right)={\begin{pmatrix}0_{3}.t_{1}(k^{t_{2}}t_{3})(k^{t_{2}+t_{4}}t_{5})\cdots \\0_{3}.(k^{t_{1}}t_{2})(k^{t_{1}+t_{3}}t_{4})\cdots \end{pmatrix}}.}$

Där ${\displaystyle k^{v}}$ betecknar den ${\displaystyle v}$te iterationen av ${\displaystyle k}$.

För att avbildningen ska vara en rumsfyllande kurva måste den vara surjektiv och kontinuerlig. Så för att bevisa att Peanos kurva är en rumsfyllande kurva bevisas först att den är surjektiv och sedan att den är kontinuerlig.

Tag en godtycklig punkt i enhetskvadraten,

${\displaystyle (0_{3}.\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\beta _{4}\cdots ,0_{3}.\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\gamma _{4}\cdots )\in [0,1]^{2}.}$

Det ska då finnas åtminstone en punkt på enhetslinjen

${\displaystyle t=0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}t_{4}\cdots \in [0,1]}$

sådan att

${\displaystyle f(t)={\begin{pmatrix}0_{3}.\beta _{1}\beta _{2}\beta _{3}\beta _{4}\cdots \\0_{3}.\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}\gamma _{4}\cdots \end{pmatrix}}.}$

Genom att jämföra ${\displaystyle f(t)}$ med Peanos definition erhåller man följande rekursiva samband:

${\displaystyle \beta _{n}=k^{t_{0}+t_{2}+t_{4}+\cdots +t_{2n-2}}t_{2n-1},\quad \gamma _{n}=k^{t_{1}+t_{3}+t_{5}+\cdots +t_{2n-1}}t_{2n}}$ där ${\displaystyle t_{0}=0}$

Sambanden kan sen inverteras eftersom

${\displaystyle k(kt_{j})=2-(2-t_{j})=t_{j}.}$

Det vill säga ${\displaystyle k}$ är sin egen invers vilket ger

${\displaystyle t_{2n-1}=k^{t_{0}+t_{2}+t_{4}+\cdots +t_{2n-2}}\beta _{n},\quad t_{2n}=k^{t_{1}+t_{3}+t_{5}+\cdots +t_{2n-1}}\gamma _{n}.}$

Nu går det att lösa för ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3},\cdots }$ och därav är ${\displaystyle f}$ surjektiv.

Vi skriver Peanos kurva som

${\displaystyle f(t)={\begin{pmatrix}\varphi (t)\\\psi (t)\end{pmatrix}}.}$

För att kurvan ska vara kontinuerlig måste både ${\displaystyle \varphi (t)}$ och ${\displaystyle \psi (t)}$ vara det på hela [0,1]. Funktionen ${\displaystyle \varphi (t)}$ bevisas vara kontinuerlig genom att låta

${\displaystyle t_{0}=0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}\cdots t_{2n}t_{2n+1}\cdots \quad }$ och ${\displaystyle \quad \delta =1/3^{2n}-0_{3}.000\cdots 0t_{2n}t_{2n+1}\cdots }$

Detta ger

${\displaystyle t_{0}+\delta =0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}\cdots t_{2n}t_{2n+1}\cdots +1/3^{2n}-0_{3}.000\cdots 0t_{2n}t_{2n+1}\cdots =0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}\cdots t_{2n}222\cdots .}$

Om vi nu har ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{0}+\delta ]}$ kommer ${\displaystyle t}$ stämma överens med ${\displaystyle t_{0}}$ de första ${\displaystyle 2n}$ siffrorna och därför kan man uttrycka ${\displaystyle t}$ som,

${\displaystyle t=0_{3}.t_{1}t_{2}t_{3}\cdots t_{2n}s_{2n+1}s_{2n+2}\cdots .}$

För att se om ${\displaystyle \varphi (t)}$ är kontinuerlig sätter vi

${\displaystyle \epsilon =t_{2}+t_{4}+t_{6}+\cdots +t_{2n}}$

och tittar sedan på ${\displaystyle |\varphi (t)-\varphi (t_{0})|}$ som ska gå mot noll om ${\displaystyle \varphi (t)}$ är kontinuerlig.

${\displaystyle |\varphi (t)-\varphi (t_{0})|=|0_{3}.t_{1}(k^{t_{2}}t_{3})\cdots (k^{\epsilon }s_{2n+1})\cdots \;-\;0_{3}.t_{1}(k^{t_{2}}t_{3})\cdots (k^{\epsilon }t_{2n+1})\cdots |}$ ${\displaystyle \quad \leq |(k^{\epsilon }s_{2n+1}-k^{\epsilon }t_{2n+1}|/3^{n+1}\;+\;|k^{\epsilon +s_{2n+2}}s_{2n+3}-k^{\epsilon +t_{2n+2}}t_{2n+3}|/3^{n+2}+\cdots }$ ${\displaystyle \leq (2/3^{n+1})(1+1/3+1/9+\cdots )=1/3^{n}}$

Vilket ger gränsvärdet,

${\displaystyle 1/3^{n}\rightarrow 0}$ då ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

.

Alltså är ${\displaystyle \varphi (t)}$ kontinuerlig från höger, för att ta reda på om den är kontinuerlig från vänster gör man på samma sätt, men tar ${\displaystyle t-\delta }$ istället. Gör man det finner man att ${\displaystyle \varphi (t)}$ är kontinuerlig på hela [0,1]. Att ${\displaystyle \varphi (t)}$ är kontinuerlig medför att ${\displaystyle \psi (t)}$ är det också eftersom ${\displaystyle \psi (t)=3\varphi (t/3)}$. Därmed är hela beviset klart.

Peanos kurva var en av de första fraktalerna och lade grunden för fraktalteorin som långt efter Peanos upptäckt fått otaliga tillämpningar. Fraktaler används idag inom många vetenskapliga områden till exempel datorvetenskap och medicin.

• Sagan, Hans (1994), Space-Filling Curves, Springer-Verlag, MR 1299533, ISBN 0387942653 .

• Proof of the existence of a bijection
• Peano Plane Filling Curves
• Hilbert's and Moore's Plane Filling Curves
• All Peano Plane Filling Curves