Matrisrang

Inom linjär algebra definieras rang för en matris A, med koefficienter tillhörande någon kropp K, som det maximala antalet linjärt oberoende kolonner i A, vilket är ekvivalent med dimensionen av kolonnrummet till A. På samma sätt talar man om radrang som antalet linjärt oberoende rader i A, eller dimensionen av radrummet. Eftersom radrang och kolonnrang alltid sammanfaller behöver man emellertid oftast inte särskilja mellan dessa.

Alternativa definitioner

Låt A vara en m x n matris, med koefficienter i K. Betraktas A som en linjär avbildning $A:K^{n}\rightarrow K^{m}$ kan rang A definieras som dimensionen hos bildrummet för A. Detta visar att rang är oberoende av bas.

Egenskaper

Från definitionerna ovan fås direkt att om A är en m x n matris, så är rang $A\leq \min(m,n)$ . Råder likhet sägs A ha maximal rang. Är m = n, är detta ekvivalent med att A är inverterbar

Om f är en linjär avbildning, $f:V\rightarrow W$ som ges av m x n matrisen A, är f injektiv om och endast om A har rang n och surjektiv om och endast om A har rang m

Vid sammansättning av avbildningar behöver inte rangen bevaras. Det gäller alltid att rangen av AB är mindre eller lika med det minsta av de två talen rang A och rang B

Beräkning av rang

Rangen hos en matris kan exempelvis beräknas med hjälp av LU-faktorisering (Gausselimination). Detta leder dock till problem vid flyttalsberäkningar eftersom då koefficienterna inte är exakt kända. Om A då inte har maximal rang, blir resultatet lätt felaktigt. För numeriska beräkningar av rang används därför antingen singulärvärdesfaktorisering, som dock är beräkningskrävande, samt QR-faktorisering, som också är mer numeriskt stabilt för rangberäkning än Gausselimination.

Referenser

Sparr, Gunnar, 1942- (1995 ;). Linjär algebra. Studentlitteratur. OCLC 187001658. http://worldcat.org/oclc/187001658. Läst 19 april 2019