Ortocentrum

Med ortocentrum avses inom geometrin den gemensamma skärningspunkten för höjderna (eller dessas förlängningar) i en triangel.^[1] Med höjd avses sträckan (det räta linjesegmentet) från ett hörn till hörnets fotpunkt på den motstående sidan (eller dess förlängning). Höjden är en så kallad cevian.

Givet triangeln i figur 1 med hörnet ${\displaystyle B}$ i origo och sidan ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ längs x-axeln i ett kartesiskt koordinatsystem. Hörnen ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ och ${\displaystyle C}$ har koordinaterna ${\displaystyle \left(d,a\right)}$, ${\displaystyle \left(0,0\right)}$ respektive ${\displaystyle \left(c,0\right)}$ och ${\displaystyle D}$, fotpunkten till ${\displaystyle A}$ på ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, har koordinaterna ${\displaystyle \left(d,0\right)}$. Om en sida har riktningskoefficienten ${\displaystyle k}$, så har höjden som är vinkelrät mot sidan riktningskoefficienten ${\displaystyle -1/k}$, vilket ger ekvationerna för de tre höjderna (och dessas förlängningar):

${\displaystyle 1.\ {\overline {AD}}:\ x=d}$

${\displaystyle 2.\ {\overline {BE}}:\ y={\frac {c-d}{a}}\cdot x}$

${\displaystyle 3.\ {\overline {CF}}:\ y=-{\frac {d}{a}}\cdot \left(x-c\right)={\frac {d}{a}}\cdot \left(c-x\right)}$

Vi kallar skärningspunkten mellan ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ och ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ för ${\displaystyle G}$, som enligt 1 har x-koordinaten ${\displaystyle d}$, och får ur 2 att y-koordinaten är:

${\displaystyle y={\frac {c-d}{a}}\cdot x={\frac {c-d}{a}}\cdot d={\frac {dc-d^{2}}{a}}}$

Detsamma får vi även ur 3:

${\displaystyle y={\frac {d}{a}}\cdot \left(c-x\right)={\frac {d}{a}}\cdot \left(c-d\right)={\frac {dc-d^{2}}{a}}}$

Sålunda ligger ${\displaystyle G}$ även på ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ och höjderna skär därmed varandra i en och samma punkt: ortocentrum.

Figur 1 visade en spetsvinklig triangel. I en trubbvinklig triangel (figur 2) får vi samma ekvationer. Riktningskoeffecienten för ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ är förvisso negativ, men eftersom ${\displaystyle d}$ nu ligger på andra sidan om ${\displaystyle c}$ tar minustecknen ut varandra:

${\displaystyle 2.\ {\overline {BE}}:\ y=-{\frac {d-c}{a}}\cdot x={\frac {c-d}{a}}\cdot x}$

Om vinkeln i ${\displaystyle C}$ är rät blir ${\displaystyle D=E=C}$ och således även ${\displaystyle G=C}$, det vill säga att ortocentrum ligger i det rätvinkliga hörnet.

• Ortocentrums isogonalkonjugat är den omskrivna cirkelns medelpunkt.
• De barycentriska koordinaterna för ortocentrum är

${\displaystyle {\frac {|{\overline {BC}}|}{\cos \angle BAC}}:{\frac {|{\overline {AC}}|}{\cos \angle CBA}}:{\frac {|{\overline {AB}}|}{\cos \angle ACB}}}$ eller

${\displaystyle |{\overline {BC}}|\cdot \cos \angle CBA\cdot \cos \angle ACB:|{\overline {AC}}|\cdot \cos \angle ACB\cdot \cos \angle BAC:|{\overline {BC}}|\cdot \cos \angle BAC\cdot \cos \angle CBA}$ (Bevis).

• De trilinjära koordinaterna för ortocentrum är

${\displaystyle {\frac {1}{\cos \angle BAC}}:{\frac {1}{\cos \angle CBA}}:{\frac {1}{\cos \angle ACB}}=\sec \angle BAC:\sec \angle CBA:\sec \angle ACB}$^[2]

I en sfärisk triangel utgör sidor och höjder storcirkelbågar. Höjdens storcirkelplan är vinkelrätt mot den motstående sidans storcirkelplan. En sfärisk triangel har två ortocentra, eftersom två storcirklar alltid skär varandra i två punkter.

Betrakta den sfäriska triangeln ${\displaystyle \triangle ABC}$ i figur 2.

Vektorn ${\displaystyle {\vec {OB}}\times {\vec {OC}}}$ är normal mot storcirkelplanet för sidan ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ och sålunda parallell med storcirkelplanet för höjden ${\displaystyle {\overline {AD}}}$. Vektorn ${\displaystyle {\vec {OA}}\times \left({\vec {OB}}\times {\vec {OC}}\right)}$ är därför normal mot storcirkelplanet för höjden ${\displaystyle {\overline {AD}}}$. På samma sätt är ${\displaystyle {\vec {OB}}\times \left({\vec {OC}}\times {\vec {OA}}\right)}$ normal mot storcirkelplanet för höjden ${\displaystyle {\overline {BE}}}$ och ${\displaystyle {\vec {OC}}\times \left({\vec {OA}}\times {\vec {OB}}\right)}$ normal mot storcirkelplanet för höjden ${\displaystyle {\overline {CF}}}$. Eftersom dessa tre vektorer är linjärt beroende enligt Jacobi-identiteten:

${\displaystyle {\vec {OA}}\times \left({\vec {OB}}\times {\vec {OC}}\right)+{\vec {OB}}\times \left({\vec {OC}}\times {\vec {OA}}\right)+{\vec {OC}}\times \left({\vec {OA}}\times {\vec {OB}}\right)=0}$

måste de alltså antingen vara parallella eller koplanära. Att de är parallella är uteslutet eftersom detta skulle inneburit att de tre höjdernas storcirkelplan också skulle vara parallella, vilket är detsamma som att alla tre hörnen skulle ligga på samma storcirkel^[3]. Sålunda ilgger de i samma plan. De tre storcirkelplanen för höjderna är vinkelräta mot de tre vektorernas plan och eftersom de tre höjdplanen har en gemensam punkt i sfärens medelpunkt skär de alltså varandra längs samma räta linje. Denna räta linjes båda skärningspunkter med sfärens yta är således skärningspunkterna för höjdernas storcirklar och därmed triangelns båda ortocentra, ${\displaystyle G}$ och ${\displaystyle G'}$.