Automorf L-funktion

Automorf ${\displaystyle L}$-funktion, inom matematiken en funktion ${\displaystyle L(s,\pi ,r)}$ av en komplex variabel ${\displaystyle s}$ associerad med en automorf form ${\displaystyle \pi }$ av en reduktiv grupp ${\displaystyle G}$ över en global kropp, och en ändligdimensionell komplex representation ${\displaystyle r}$ av Langlands duala grupp ${\displaystyle ^{L}G}$ av ${\displaystyle G}$. Den automorfa ${\displaystyle L}$-funktionen generaliserar Dirichlets L-funktion av en Dirichletkaraktär och Mellintransformationen av en modulär form. Den introducerades av Langlands (1967, 1970, 1971).

Borel (1979) och Arthur & Gelbart (1991) gav översikter av automorfa ${\displaystyle L}$-funktioner.

Automorfa ${\displaystyle L}$-funktioner antas ha följande egenskaper (som har bevisats i vissa fall, men som i andra fall fortfarande är förmodanden).

${\displaystyle L}$-funktionen ${\displaystyle L(s,\pi ,r)}$ är en produkt över ${\displaystyle v}$ i ${\displaystyle F}$ av lokala ${\displaystyle L}$-funktioner.

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\prod _{v}L(s,\pi _{v},r_{v})}$

Här är den automorfa representationen ${\displaystyle \pi =\otimes \pi _{v}}$ en tensorprodukt av representationer ${\displaystyle \pi _{v}}$ av lokala grupper.

${\displaystyle L}$-funktionen förväntas ha en analytisk fortsättning i form av en meromorf funktion av alla komplexa s, samt satisfiera en funktionalekvation

${\displaystyle L(s,\pi ,r)=\epsilon (s,\pi ,r)L(1-s,\pi ,r^{\lor })}$

där faktorn ${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)}$ är en produkt av "lokala konstanter"

${\displaystyle \epsilon (s,\pi ,r)=\prod _{v}\epsilon (s,\pi _{v},r_{v},\psi _{v})}$

vilka nästan alla är 1.

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Automorphic L-function, 23 januari 2015.

• Arthur, James; Gelbart, Stephen (1991), ”Lectures on automorphic L-functions”, i Coates, John; Taylor, M. J., L-functions and arithmetic (Durham, 1989), London Math. Soc. Lecture Note Ser., "153", Cambridge University Press, s. 1–59, doi:10.1017/CBO9780511526053.003, ISBN 978-0-521-38619-7, http://www.claymath.org/cw/arthur/pdf/automorphic-L.pdf 
• Borel, Armand (1979), ”Automorphic L-functions”, i Borel, Armand; Casselman, W., Automorphic forms, representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., "XXXIII", Providence, R.I.: American Mathematical Society, s. 27–61, ISBN 978-0-8218-1437-6, http://www.ams.org/publications/online-books/pspum332-index 
• Cogdell, James W.; Kim, Henry H.; Murty, Maruti Ram (2004), Lectures on automorphic L-functions, Fields Institute Monographs, "20", Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3516-6, http://books.google.com/books?id=jb3ZCp0-MQsC 
• Gelbart, Stephen; Piatetski-Shapiro, Ilya; Rallis, Stephen (1987), Explicit constructions of automorphic L-functions, Lecture Notes in Mathematics, "1254", Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0078125, ISBN 978-3-540-17848-4 
• Godement, Roger; Jacquet, Hervé (1972), Zeta functions of simple algebras, Lecture Notes in Mathematics, "260", Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0070263, ISBN 978-3-540-05797-0 
• Jacquet, H.; Piatetski-Shapiro, I. I.; Shalika, J. A. (1983), ”Rankin-Selberg Convolutions”, Amer. J. Math. 105: 367–464, doi:10.2307/2374264 
• Langlands, Robert (1967), Letter to Prof. Weil, http://publications.ias.edu/rpl/section/21 
• Langlands, R. P. (1970), ”Problems in the theory of automorphic forms”, Lectures in modern analysis and applications, III, Lecture Notes in Math, "170", Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 18–61, doi:10.1007/BFb0079065, ISBN 978-3-540-05284-5, http://publications.ias.edu/rpl/section/21 
• Langlands, Robert P. (1971) [1967], Euler products, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01395-5, http://publications.ias.edu/rpl/paper/37 
• Shahidi, F. (1981), ”On certain "L"-functions”, Amer. J. Math. 103: 297–355