Jangov modul

Jangov modul elastičnosti ili samo modul elastičnosti predstavlja mjeru krutosti materijala i jednak je odnosu vučnog naprezanja i linijske vučne deformacije, u linearnom ili elastičnom dijelu dijagrama naprezanja. Krutost materijala je važna veličina pri određivanju stabilnosti i sigurnosti neke konstrukcije. Jangov modul elastičnosti vrijedi i za kompresiona naprezanja kod većine materijala:^[1]

${\displaystyle E\equiv {\frac {\mbox{vlacno naprezanje}}{\mbox{produzenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}}$

gdje je:

E — Jangov modul elastičnosti (N/mm²);

F — sila koja produžava šipku ili štap (N);

A₀ — početni poprečni presjek šipke ili štapa u mirovanju (mm²);

ΔL — produženje šipke ili štapa (m);

L₀ — početna dužina šipke ili štapa (m);

σ — naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²),

ε — odnos produženja šipke ili štapa i njene dužine (bez dimenzije ili ΔL/Lo).

Jangov modul elastičnosti je nazvan prema britanskom naučniku Tomasu Jangu, iako je sam pojam razvio matematičar Leonard Ojler, a prvi je eksperimente izveo Italijan Đordano Rikati 1782, 25 godina prije Tomasa Janga.

Jangov modul elastičnosti može poslužiti da se izračuna produženje ili suženje nekog materijala, koji je pod uticajem neke spoljne sile. Da bi se tačno odredila promjena obima nekog krutog materijala, pod uticajem sile, potrebno je da se poznaju i još neka svojstva materijala, kao što je modul smicanja G, gustina ili Puasonov odnos υ.

Hukov zakon za elastične materijale je:

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$

ili

${\displaystyle \Delta L={\frac {F}{EA}}L={\frac {\sigma }{E}}L}$

gdje je: σ — naprezanje u šipki ili štapu (N/mm²), E — Jangov modul elastičnosti (N/mm²), ε — odnos produženja šipke ili štapa i njene dužine (bez dimenzije ili ΔL/L), L — dužina štapa, ΔL — produženje šipke ili štapa (mm), F — sila koja produžava šipku ili štap (N), A — poprečni presjek šipke ili štapa (mm²)^[2]

Hukov zakon vrijedi (do granice razvlačenja) za čelik, a može da posluži i za bakar, aluminijum i drvo). Za neke druge materijale vrijedi potencijalni Hukov zakon, koji je utvrđen na osnovu preciznih mjerenja:^[3]

ε = α_o σⁿ

gdje je: α_o ≈ 1/E, n — za sivi liv n = 1,08 za izvlačenje i n = 1,04 za pritisak; za liveni cink, granit, beton vrijedi n = 1,14—1,16; za kožu i užad od konoplje n = 0,7.

Ukoliko je poznat Jangov modul elastičnosti za neki materijal, može se izračunati sila koja djeluje na njega, ako se izmjeri produženje ili suženje materijala:

${\displaystyle F={\frac {EA_{0}\Delta L}{L_{0}}}}$

Na osnovu Hukovog zakona i Jangovog modula elastičnosti može se izračunati i konstanta opruge k:

${\displaystyle F=\left({\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\right)\Delta L=kx}$

gdje je:

${\displaystyle k={\begin{matrix}{\frac {EA_{0}}{L_{0}}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle x=\Delta L}$

Ili potencijalna energija opruge:

${\displaystyle U_{e}=\int {kx}\,dx={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Za homogene izotropne materijale postoji jednostavan odnos izmedu elastičnih konstanti (Jangov modul elastičnosti E, modul smicanja G, ukupni modul elastičnosti K i Puasonov odnos υ):

${\displaystyle E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )}$

Jangov modul elastičnosti se ispituje ponekad sa različitim metodima i uzorcima za ispitivanje, pa postoje male razlike u poređenju njihovih vrijednosti.

• Matweb: free database of engineering properties for over 115,000 materials
• Young's Modulus for groups of materials, and their cost