[go: up one dir, main page]

Пређи на садржај

Homološka algebra

С Википедије, слободне енциклопедије
Dijagram koji se koristi u lemi zmije, osnovnom rezultatu u homološkoj algebri.

Homološka algebra je grana matematike koja izučava homologiju u opštem algebarskom okruženju.[1][2][3][4] To je relativno mlada disciplina, čije poreklo se može pratiti do istraživanja kombinatorne topologije[5][6] (preteče algebarske topologije) i apstraktne algebre (teorije modula i linearnih relacija) s kraja 19. veka, uglavnom zaslugom Anrija Poenkarea i Dejvida Hilberta.

Razvoj homološke algebre bio je usko isprepleten s nastankom teorije kategorija. Uopšte, homološka algebra je proučavanje homoloških funktora i zamršenih algebričnih struktura koje oni uključuju. Jedan prilično koristan i sveprisutan koncept u matematici su lančani kompleksi, koji se mogu proučavati putem njihove homologije i kohomologije.[7][8][9] Homološka algebra pruža sredstva za izdvajanje informacija sadržanih u ovim kompleksima i njihovo predstavljanje u obliku homoloških invarijanati prstenova, modula, topoloških prostora i drugih 'opipljivih' matematičkih objekata. Moćan alat za ovo pružaju spektralne sekvence.

Homološka algebra je od samog nastanka igrala ogromnu ulogu u algebarskoj topologiji. Njen uticaj se postepeno proširio i trenutno uključuje komutativnu algebru, algebarsku geometriju, teoriju algebarskih brojeva, teoriju reprezentacije, matematičku fiziku, operatorske algebre, kompleksnu analizu i teoriju parcijalnih diferencijalnih jednačina. K-teorija je nezavisna disciplina koja se zasniva na metodama homološke algebre, kao i nekomutativna geometrija Alena Kona.

Istorija homološke algebre

[уреди | уреди извор]

Proučavanje homološke algebre je započeto u njenom najosnovnijem obliku tokom 1800-ih kao grane topologije. Tek je tokom 1940-ih godina ona postala samostalni predmet proučavanja, sa izučavanjem tema kao što su: ext funktor i tor funktor, između ostalog.[10]

Lančani kompleksi i homologija

[уреди | уреди извор]

Pojam kompleksa lanaca je centralan u homološkoj algebri. Apstraktni lančani kompleks je niz abelovih grupa[11][12] i grupa homomorfizama,[13][14] sa svojstvom da je kompozicija bilo koje dve uzastopne mape nula:

Elementi Cn se nazivaju n-lancima, a homomorfizmi dn se nazivaju graničnim mapama ili diferencijalima. Lančane grupe Cn mogu biti obdarene dodatnom strukturom; na primer, to mogu biti vektorski prostori ili moduli preko fiksnog prstena R. Diferencijali moraju da sačuvaju dodatnu strukturu ako ona postoji; na primer, to moraju biti linearne mape ili homomorfizmi R-modula. Radi lakšeg označavanja, pažnju treba usredsrediti na abelove grupe (tačnije, na kategoriju Ab abelovih grupa); proslavljena teorema Barija Mičela implicira da će se rezultati generalizovati na bilo koju abelovu kategoriju. Svaki lančani kompleks definiše još dva niza abelovih grupa, cikluse Zn = Ker dn i granice Bn = Im dn+1, gde Ker d i Im d označavaju jezgro i sliku od d.[15][16] Pošto je kompozicija dve uzastopne granične mape nula, ove grupe su ugrađene jedna u drugu kao

Podgrupe abelovih grupa su automatski normalne; stoga se može definisati n-ta homološka grupu Hn(C) kao faktorska grupa n-ciklusa po n-granicama,

Kompleks lanca naziva se acikličnim ili tačan niz ako su sve njegove homološke grupe nula.

  1. ^ Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homological Algebra. Princeton mathematical series. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171. 
  2. ^ Eilenberg, Samuel; Moore, J.C. (1965). Foundations of relative homological algebra. Memoirs of the American Mathematical Society number. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982. 
  3. ^ Pellikka, M; S. Suuriniemi; L. Kettunen; C. Geuzaine (2013). „Homology and Cohomology Computation in Finite Element Modeling” (PDF). SIAM J. Sci. Comput. 35 (5): B1195—B1214. Bibcode:2013SJSC...35B1195P. CiteSeerX 10.1.1.716.3210Слободан приступ. doi:10.1137/130906556. 
  4. ^ Arnold, Douglas N.; Richard S. Falk; Ragnar Winther (16. 5. 2006). „Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications”. Acta Numerica. 15: 1—155. Bibcode:2006AcNum..15....1A. S2CID 122763537. doi:10.1017/S0962492906210018. 
  5. ^ Chen, Li; Rong, Yongwu (2010). „Digital topological method for computing genus and the Betti numbers”. Topology and Its Applications. 157 (12): 1931—1936. MR 2646425. doi:10.1016/j.topol.2010.04.006Слободан приступ. 
  6. ^ Chen, Li; Rong, Yongwu. Linear Time Recognition Algorithms for Topological Invariants in 3D. 19th International Conference on Pattern Recognition (ICPR 2008). стр. 3254—7. CiteSeerX 10.1.1.312.6573Слободан приступ. ISBN 978-1-4244-2174-9. arXiv:0804.1982Слободан приступ. doi:10.1109/ICPR.2008.4761192. 
  7. ^ Dieudonné, Jean (1989), History of Algebraic and Differential TopologyНеопходна слободна регистрација, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842 
  8. ^ Dold, Albrecht (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602 
  9. ^ Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886 
  10. ^ Weibel, Charles A. (1999). „History of Homological Algebra”. History of Topology. стр. 797–836. ISBN 9780444823755. doi:10.1016/b978-044482375-5/50029-8. 
  11. ^ Fuchs, László (1973). Infinite Abelian Groups. Pure and Applied Mathematics. 36-II. Academic Press. MR 0349869. 
  12. ^ Griffith, Phillip A. (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7. 
  13. ^ Rowland, Todd. „Group Homomorphism”. MathWorld. 
  14. ^ Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3rd изд.). Wiley. стр. 71—72. ISBN 978-0-471-43334-7. 
  15. ^ Szmielew, Wanda (1955). „Elementary Properties of Abelian Groups” (PDF). Fundamenta Mathematicae. 41 (2): 203—271. MR 0072131. Zbl 0248.02049. doi:10.4064/fm-41-2-203-271Слободан приступ. 
  16. ^ Robinson, Abraham; Zakon, Elias (1960). „Elementary Properties of Ordered Abelian Groups” (PDF). Transactions of the American Mathematical Society. 96 (2): 222—236. JSTOR 1993461. doi:10.2307/1993461Слободан приступ. Архивирано (PDF) из оригинала 2022-10-09. г. 

Dodatna literatura

[уреди | уреди извор]
  • Bhargav Bhatt. „On the direct summand conjecture and its derived variant”. arXiv:pdf/1608.08882.pdfСлободан приступ Проверите вредност параметра |arxiv= (помоћ). 

Spoljašnje veze

[уреди | уреди извор]