Funksioni i mysët

Në matematikë, një funksion i mysët është negativi i një funksioni të lugët . Një funksion i mysët quhet gjithashtu sinonimisht konkav.

Një funksion me vlera reale ${\displaystyle f}$ në një interval (ose, në përgjithësi, një grup i lugët në hapësirën vektoriale ) thuhet se është i mysët nëse, për ndonjë ${\displaystyle x}$ dhe ${\displaystyle y}$ në interval dhe për çdo ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, ^[1]

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Një funksion quhet rreptësisht i mysët nëse

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

për çdo ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ dhe ${\displaystyle x\neq y}$ .

Për një funksion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ky përkufizim i dytë thotë se për çdo ${\displaystyle z}$ rreptësisht ndërmjet ${\displaystyle x}$ dhe ${\displaystyle y}$, pika ${\displaystyle (z,f(z))}$ në grafikun e ${\displaystyle f}$ është mbi vijën e drejtë që bashkon pikat ${\displaystyle (x,f(x))}$ dhe ${\displaystyle (y,f(y))}$ .

1. Një funksion i diferencueshëm f është (rreptësisht) i mysët në një interval nëse dhe vetëm nëse funksioni i tij derivat f ′ është (rreptësisht) monotonisht zbritës në atë interval, domethënë, një funksion konkav ka një pjerrësi jo në rritje (zvogëluese). ^{[2] [3]}
2. Pikat ku natyra e funksionit ndryshon (midis konkave dhe konvekse ) janë pika përkuljeje . ^[4]
3. Nëse ${\displaystyle f}$ është dy herë i diferencueshëm, atëherë f është i mysët nëse dhe vetëm nëse ${\displaystyle f''}$është jopozitiv (ose, joformalisht, nëse " nxitimi " është jo pozitiv). Nëse derivati i dytë i tij është negativ, atëherë ai është rreptësisht i mysët, por e kundërta nuk është e vërtetë, siç tregohet nga ${\displaystyle f(x)=-x^{4}}$ .
4. Nëse ${\displaystyle f}$ është i mysët dhe i diferencueshëm, atëherë ai kufizohet më lart nga përafrimi i saj Tejlorit i rendit të parë: ^[5] $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. Një funksion i matshëm i Lebegut në një interval C është i mysët nëse dhe vetëm nëse është i mysët në pikën e mesit, domethënë për çdo x dhe y në C $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. Nëse një funksion ${\displaystyle f}$ është i mysët dhe ${\displaystyle f(0)\geq 0}$, atëherë ${\displaystyle f}$ është nënshtues në ${\displaystyle [0,\infty )}$ . Prova:
   • Meqenëse f është i mysët dhe 1 ≥ t ≥ 0, duke lënë y = 0 kemi $${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • Për ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$ : $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

1. Një funksion ${\displaystyle f}$ është konkav mbi një grup të lugët nëse dhe vetëm nëse funksioni ${\displaystyle -f}$është një funksion i lugët mbi bashkësinë.
2. Shuma e dy funksioneve të mysta është në vetvete i mysët dhe po kështu është edhe minimumi pikësor i dy funksioneve të mysët, dmth grupi i funksioneve të mysët në një bashkësi të caktuar nga një gjysmëfushë .
3. Pranë një maksimumi vendor në brendësi të BP të një funksioni, funksioni duhet të jetë i mysët; si e kundërt e pjesshme, nëse derivati i një funksioni rreptësisht të mysët është zero në një pikë, atëherë ajo pikë është një maksimum vendor.
4. Çdo maksimum vendor i një funksioni i mysët është gjithashtu një maksimum botëror . Një funksion rreptësisht i mysët do të ketë më së shumti një maksimum botëror.

• Funksionet ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ dhe ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ janë të mysëta në domenet e tyre, sepse derivatet e dyta të tyre ${\displaystyle f''(x)=-2}$ dhe ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ janë gjithmonë negative.
• Funksioni logaritmik ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ është konkave në domenin e saj ${\displaystyle (0,\infty )}$, si derivat i tij ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$ është një funksion rreptësisht zbritës.
• Çdo funksion afin ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ është edhe i mysët edhe i lugët, por as rreptësisht i mysët dhe as rreptësisht i lugët.
• Funksioni sinus është konkav në interval ${\displaystyle [0,\pi ]}$ .
• Funksioni ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$, ku ${\displaystyle |B|}$ është përcaktori i një matrice B jonegative-përcaktuar, është i mysët. ^[6]

• Rrezet që përkulen në llogaritjen e dobësimit të radiovalëve në atmosferë përfshijnë funksione konkave.
• Në teorinë e dobisë së pritshme për zgjedhjen nën pasiguri, funksionet kryesore të dobisë së vendimmarrësve ndaj rrezikut janë konkave.
• Në teorinë mikroekonomike, funksionet e prodhimit zakonisht supozohen të jenë konkave mbi disa ose të gjitha fushat e tyre, duke rezultuar në zvogëlimin e kthimit të faktorëve të hyrjes. ^[7]

1. ^ Lenhart, S.; Workman, J. T. (2007). Optimal Control Applied to Biological Models. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
2. ^ Rudin, Walter (1976). Analysis. fq. 101. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
3. ^ Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M.; Hays, D. F. (1976-07-01). "Table of Integrals, Series, and Products". Journal of Lubrication Technology. 98 (3): 479. doi:10.1115/1.3452897. ISSN 0022-2305. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
4. ^ Hass, Joel (13 mars 2017). Thomas' calculus. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006. (bot. Fourteenth). [United States]. fq. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Mungon shtëpia botuese te vendodhja (lidhja)
5. ^ Varian, Hal R. (1992). Microeconomic analysis (bot. 3rd). New York: Norton. fq. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
6. ^ Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (1988). "Determinant inequalities via information theory". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9: 384–392. doi:10.1137/0609033. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
7. ^ Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. Oxford University Press. fq. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)