Pjesa I i përket Gjeometrisë Analitike,kurse Pjesa II i përket Gjeometrisë së lëvizjeve[2]
Merret me njohuritë themelore të Gjeometrisë, referohemi gjeometrisë, që ne kemi në mëndje është studimi i pikës,vijave, planeve dhe figurave të tjera, siçato shfaqen te ne në lëndëte gjimnazit dhe në gjeometritë universitare. Figurat që vendosen në një plan i përkasin planit real ose gjeometrisë 2-Dimensionale,ndërsa trupat i përkasin gjeometrisë3-Dimensionaleapo si njihet tjetër gjeometrisë së hapsirës.Është gjithashtu e mundur ti referohemi gjeometrisë një dimensionale si gjeometria përgjatë një vije të drejtë. Për më tepër gjeometria që nepo mendojmë këtu është quajtur.
Gjeometria Euklideane për nder të Euklidit i cili ishtë ipari që bëri në mënyrë sistematike studimet nelibrin e tij të famshëm të quajtur Elementët. Gjeometria analitikeështë studimi i gjeometrisë ngaana algjebrike. Është zbuluar nga Rene Dekartit (15961650) një matematikan dhe filozofi famshëm francez i cili shpjegoi metodën në librin e tij Gjeometria(1651). Në mënyrë esenciale,metoda egjeometrisë analitike konsiston në ndërtimin e një fjaloriqë jep një përkthim të problemeve gjeometrike,dhe një përkthim gjeometrik tëzgjidhjeve algjebrike të këtyre problemeve.Ajo çfarë ne kemi për qëllim është studimi i këtij fjalorinë mënyrë preçize.
Fjalori është pika numri ikoordinatave dhe kjo ishte e pasqyruar në librin e Dekartit. Megjithatë,në shek e19-të dhe vecanerisht për nevojat e fizikës,[3]
Hamilton dhe Grassmannzbuluan disa objekte të ndërmjetme të quajtura vektorë,që janë objektëgjeometrike nga njëra anë dhë që mund të llogariten algjebrikisht nga ana tjeter.Vektorët janë shumë të mirë përtë përfaqësuar kuptimet fizike sic janë:shpejtësia,nxitimi,forca etj por ky përfaqësim është pas qëllimit tonë.Në bazë të saj ne do të studiojmë fillimisht algjebrën e vektorevedhe pastaj ne do ti përdorim përtë zhvilluar gjeometrinë analitike.
Gjeometri HiperbolikeLëmisë më të bukur matematikore,si Gjeometria. Planet në të ardhmen janë që të plotësojmë ciklin e gjeometrive,sic janë. Gjeometria Analitike(e plotë dhe e detajuar),Gjeometria Diferenciale,si dhe Gjeometrtë:Hiperbolike,Sferike,Projektive, etj, [4]. (AutoriOrgest ZAKA)
Gjeometria analitike, e quajtur edhe gjeometria e koordinatave, është lënda matematikore në të cilën simbolizmi algjebrik dhe metodat përdoren për të përfaqësuar dhe zgjidhur problemet në gjeometri. Rëndësia e gjeometrisë analitike është se ajo përcakton një korrespondencë midis kurbave (vijave) gjeometrike dhe ekuacioneve algjebrike. Kjo korrespondencë bën të mundur riformulimin e problemeve të gjeometrisë si probleme ekuivalente në algjebër dhe anasjelltas; pastaj metodat e secilit subjekt mund të përdoren për të zgjidhur problemet në tjetrën. Për shembull, kompjuterat krijojnë animacione për shfaqje në lojëra dhe filma duke manipuluar ekuacionet algjebrike. Ky libër diskuton lëndët klasike të gjeometrisë Euklidiane, afine dhe projektive në dy dhe tri dimensione, duke përfshirë klasifikimin e vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë dhe shndërimet gjeometrike. Këto lëndë janë të rëndësishme si për bazat matematikore të nxënësit dhe për aplikimet për lëndë të ndryshme. Ato mund të studiohen në vitin e parë ose si një kurs i dytë në gjeometri. Materiali paraqitet në mënyrë gjeometrike dhe synon të zhvillojë intuitën gjeometrike dhe të menduarit tek nxënësit, si dhe aftësinë e tyre për të kuptuar dhe dhënë vërtetime matematikore. Algjebra lineare nuk është një parakusht, për këtë libër, këtu kemi përfshirë edhe njohuri elementare nga ajo. Libri përfshin disa risi metodologjike, dhe një numër të madh ushtrimesh dhe problemesh me zgjidhje. Shumë kurikula vendase dhe të huaja, në degën e Matematikës në vitin e parë të saj, por edhe në degë të tjera si shkencat kompjuterike, informatika, fizika, inxhineritë, etje., kush më shumë e kush më pak, përfshijnë në kurset e tyre, kurse të Algjebrës Lineare dhe të Gjeometrisë Analitike. Në veçanti, kurset e tilla i japin studentëve njohuri të para për vektorët dhe koordinatat, si dhe një njohje sipërfaqësore me prerjet konike dhe vijat e fuqisë së dytë. Në këtë mënyrë nuk mbulohen tema të tilla klasike, si studimi gjeometrik dhe klasifikimi i vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë, dhe gjeometria projektive. Por, vijat dhe sipërfaqet e fuqsisë së dytë, pavarësisht nga të qënit të “lashtë”, janë të një rëndësie të madhe në matematikën e pastër dhe të aplikuar. (Në fund të fundit, trajektoret e planetëve janë vija të fuqisë së dytë!) Klasifikimi i vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë jep një shembull të shkëlqyer të një problemi tipik të gjeometrisë: klasifikimi i objekteve gjeometrike dhe studimi i pandryshueshmërive gjeometrike. Dhe gjeometria projektive, jo vetëm që është një lëndë e bukur matematikore, por gjithashtu përdoret gjerësisht në grafikë kompjuterike. Në këtë libër unë propozoj një mënyrë alternative të mësimdhënies ose një kurs të parë ose të dytë në gjeometri, i cili do të zhvillonte lidhjen analitike dhe gjeometrinë euklidiane, duke përfshirë edhe shndërimet gjeometrike, dhe të japë një hyrje në gjeometrinë projektive. Ky kurs do të rriste edukimin gjeometrik të studentëve dhe do të përfitojnë ata që janë të interesuar në aplikime, në veçanti në kompjuterikë. Më lejoni të shtoj gjithashtu se një kurs i tillë vazhdon të jetë mjaft standard për programin e vitit të parë të shumë vendeve të Evropës kontinentale, Francës, Rusisë, etj. Për më tepër, në këtë libër, ne gjithashtu synojmë të përkrahim kthimin në modelet gjeometrike, t'i mësojmë studentët të perceptojnë gjeometrinë si një botë në vetvete dhe të zhvillojnë intuitë e tyre gjeometrike. Është e njohur që nga puna e Hilbertit mbi bazat e gjeometrisë në fund të shekullit të 19-të që algjebra lineare mund të nxirret nga gjeometria euklidiane: gjeometria mund të përdoret si pikënisje në ndërtimin e hapësirës vektoriale reale n-dimensionale (shih, për shembull, [14]). dhe janë vetëm modele të planit dhe hapësirës. Është e vërtetë se Bazat janë një problem nga ky këndvështrim. Bazat e gjeometrisë nuk janë subjekt hyrës dhe në vend që të japim një zhvillim aksiomatik jo të plotë, ne do të preferojmë të ndërtojmë një intuitë gjeometrike të papërcaktuar por themelore. (Kjo zakonisht bëhet edhe në Kalkuluset e vitit të parë, kur dikush thotë se një vektor është një “varg” prej tre numrash, dhe ka ‘një shigjetë sipër’, dhe gjithashtu kur dikush punon me numra realë pa një përkufizim të duhur të këtyre numrave.) Ne do të kujdesemi ta mbajmë këtë të fundit në një nivel minimal dhe të padëmshëm. Fitimi në të menduarit gjeometrik është më i rëndësishëm sesa humbjet e përkohshme e ashpërsisë në bazë, të cilat megjithatë duhet të shpjegohen hapur për studentët. Në libër, ne gjithashtu tregojmë një zgjidhje të mundshme për problemin e bazave duke dhënë një përkufizim logjikisht rigoroz të hapësirës afine dhe euklidiane e cila përdor strukturën algjebrike të një hapësire lineare (Seksioni 1.5), por ne nuk qëndrojmë shumë në këtë temë. Libri është shkruar në mënyrë të tillë që të mund të studiohet në vitin e parë ose të dytë. Përdorimi i algjebrës lineare mbahet në një minimum që mësuesi mund ta ofrojë vetë, nëse është e nevojshme. Nëse mësohet në vitin e dytë, studentët tashmë do të kenë kaluar në algjebrën lineare, kalkulusin (ose Analizën matematike I) dhe elementet e gjeometrisë analitike. Ata do të jenë të njohur me koordinatat ortogonale, vektorët, drejtëzat, planet, dhe ekuacionet më të thjeshta të vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë. Ata gjithashtu do të jenë më të pjekur, matematikisht dhe do të kenë parasysh faktin se matematika përbëhet nga përkufizime, teorema dhe vërtetime, si dhe me strukturën logjike të një prove. Megjithatë, meqënëse, në shumë raste, studimi i gjeometrisë analitike i përfshirë në kuadër të kurseve të algjebrës lineare ose kalkulusit është mjaft i përciptë, dhe larg nga të qenit uniform, ne diskutojmë subjektin që nga fillimi. Kjo lejon krijimin e metodologjisë gjeometrike, ndërsa ekspozimi i mëparshëm i studentit ndaj vektorëve dhe koordinatave do të sigurojë një bazë për të kuptuar këtë metodologji të re. Libri fillon me një kapitull mbi vektorët, dhe koordinatat e përgjithshme afine. Pastaj, diskutojmë ekuacionet e drejtëzave dhe të planeve, dhe përdorim këto ekuacione për zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Nëse një mësues që mendon se nxënësit e tij/saj, i njohin mirë këto tema, mund të kalojë nëpër këto kapituj me një ritëm të shpejtë, por unë do të rekomandoj që të kaloni ca kohë në zgjidhjen e problemeve gjeometrike. E njëjta gjë vlen edhe për pjesët e kapitullit mbi vijat dhe sipërfaqet e fuqisë së dytë që përbëhet kryesisht nga materiale të reja. Gjithashtu theksoj se studimi ynë i gjeometrisë është edhe në hapësirë, pra jo vetëm në plan. Shumë kurse të dyta në gjeometri, studiojnë vetëm gjeometrinë në plan dhe dallimi në atë që ka të bëjë me zhvillimin e mendimit gjemetrik dhe intuitës së nxënësve është i jashtëzakonshëm. Kapitulli mbi vijat dhe sipërfaqet e fuqisë së dytë, të cilin e quajmë gjeometria kuadratike, jep një zgjidhje të plotë, gjeometrike, për problemin e klasifikimit, nga pikëpamja afine dhe Euklidiane, duke përfshirë nocionin e pandryshueshmërisë, dhe pa-ndryshueshmëritë themelore të vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë. Metodologjia e klasifikimit përfshin disa risi. Kapitulli tjetër zhvillon subjektin e shndërimeve gjeometrike, dhe ne jemi përpjekur ta bëjmë atë sa më të thjeshtë që është e mundur. Ne sjellim vetëm vetitë më të rëndësishme të shndërimeve afine dhe ortogonale dhe vërtetojmë se shndërimet ortogonale përbëhen nga simetri. Në kapitullin e fundit, ne japim një hyrje në gjeometrinë projektive, përsëri kryesisht në rastin tri-dimensional. Fillojmë me hapësirën e zgjeruar afine, pastaj vendosim koordinatat projektive duke zbatuar një shndërim linear të përgjithshëm në koordinatat homogjene afine. Ne shpjegojmë se si të përdorim koordinatat projektive në zgjidhjen e problemeve gjeometrike lineare dhe kuadratike, duke përfshirë klasifikimin projektiv të vijave dhe sipërfaqeve të fuqisë së dytë, dhe japim një hyrje të sipërfaqsore për shndërimet projektive. Unë jam i bindur se libri ofron një tekst të dobishëm për një kurs të dytë gjeometrik për shumë kategori studentësh: në matematikë, në shkenca kompjuterike, në fizikë, në inxhinieri, etj, dhe shpresoj se do të kontribuojë në ringjalljen e studimit të gjeometrisë në kolegje dhe universitete. Libri mund të përdoret për studime individuale, por ndihma e një instruktori të kualifikuar do ta bënte studimin shumë më të lehtë. Në të vërtetë, ndërsa ne po mbajmë në një nivel fillestar dhe termat teknikë dhe nocionet shpjegohen mirë, teksti ka një densitet në rritje lidhur me përparimin në të dhe kërkon një përpjekje korresponduese e të kuptuarit. Karakteri klasik i materialit të përfshirë në këtë libër, e bën një bibliografi të gjerë të panevojshme. Ky libër vjen si zgjerim dhe përsosje e librit tim Gjeometria I.
