Analiza matematikore

Analiza matematike e ka bazen tek formulimi rigoroz i llogaritjes infinitezimale. Analiza është dega e matematikës që merret shprehimisht me nocione të tilla si limiti, qoftë limiti i një vargu numerik apo i një funksioni. Ajo përfshin gjithashtu nocione të tjera si vazhdueshmëria, derivimi dhe integrali. Këto nocione janë të studiuara në kontekstin e numrave real ose kompleks. Megjithatë, këto nocione mund të jenë te përcaktuara dhe të studiuara në një kontekst më të përgjithshëm në hapësirat topologjike.

Motivimi për studimin e analizes matematike në kontekstin më të gjërë të hapësirave topologjike dhe metrike është i dyanshëm:

• Së pari, vetë teknikat bazike kanë provuar se janë të aplikueshme një klase të gjërë problemesh.
• Së dyti, studimi në hapësirat më abstrakte ka dhënë prova të zbatueshmërisë në probleme klasike të fizikës. Për shembull, në analizën e Fouriesë, funksionet janë të shprehura si shuma të pafundme të disa funksioneve trigonometrike ose eksponenciale komplekse. Në fakt në analizën e Fouriesë është e mundur të shpërbashkosh funksione që në fillim duken shumë të nderlikuara, nepërmjet funksioneve trigonometrike sinus dhe cosinus.

Respektivisht ne lashtësi dhe ne mesjetë, matematicienët grek dhe indianë janë interesuar infinitezimales duke arritur rezultate premtues por shumë të fragmentuara. Për arsye historike, pasardhesit e tyre të menjëhershëm nuk përparuan më shumë me këto baza.

Analiza moderne është themeluar në shekullin e XVII nga Leibnitz dhe Newton. Në shekullin e XVII, temat e analizës si llogaritjet infinitezimale, ekuacionet diferenciale, ekuacionet me derivate të pjesshme, analiza e Fouriesë dhe funksionet e krijuara prej tyre, u zhvilluan fillimisht në kuadrin e aplikimeve praktike në fizikë. Këto teknike ishin të suksesshme në përdorimin e tyre praktikë.

Gjatë gjithë shekullit të XVII, perkufizimi i funksionit ishte shumë i debatuar mes matematicienëve të kohës. Në shekullin e XIX, Cauchy ishte i pari që dha themelet logjike strikte të llogaritjes infinitezimale duke futur konceptin e vargut të Cauchy. Ai hodhi bazat edhe të teorisë formale të analizës komplekse. Poisson, Liouville, Fourier dhe të tjerë studiuan ekuacionet me derivate të pjesshme dhe problemet e analizës harmonike.

Në mes të shekullit të XIX, Riemann paraqet teorinë e tij të integrimit : integralin e Riemann. Gjatë pjesës së tretë të shekullit të XIX, Karl Weierstrass jep përkufizimin « ε-δ » të limitit dhe aritmetizon për herë të parë konceptet e analizës që deri atëherë ishin të studiuara në kuadrin e gjeometrisë. Për herë të parë u zgjidh problemi i vazhdueshmërisë të numrave real deri atëherë i pranuar pa vertëtim . Richard Dedekind ndërtoj në mënyrë formale për herë të parë numrat rreal.

Filluan të ndërtoheshin funksione nga më të çuditshmet (si për shembull funksione të vazhdueshme por të paderivueshme ). Në këtë kontekst, Marie Ennemond Camille Jordan zhvilloj teorinë e tij të matjes. Georg Cantor zhvilloj teorinë naive të bashkësive. Në fillim të shekullit të XX llogaritja infinitezimale formalizohet me ndërmjetësinë e teorisë së bashkësive. Henri Lebesgue zgjidh problemet e matjes dhe David Hilbert krijon hapësirat e Hilbert për të zgjidhur ekuacionet integrale. Në vitet 1920 Stefan Banach krijon analizen funksionale dhe u avancua shumë në ndërtimin e një teorie në hapësirat vektoriale te normuara.

Analiza matematike përfshin këto nëndegë.

• Analiza rreale, studimi riguroz mbi derivimin dhe integrimin e funksioneve me ndryshore rreale. Përfshin gjithashtu studimin e vargjeve, serive, limitet e tyre dhe matjet.
• Analiza funksionale studion hapësirat e funksioneve dhe shfaq koncepte si hapësirat e Banach dhe hapësirat e Hilbert.
• Analiza harmonike merret me serit e Fouriesë dhe përdorimin e tyre.
• Analiza komplekse, studimin e funksioneve me ndryshore komplexe dhe që marrin vlera komplekse.
• Topologji e përgjithshme, studimi i transformimeve topologjike të një figure gjeometrike çfarëdo.
• Gjeometria diferenciale, aplikimi i llogaritjeve tek hapësirat matematike abstrakte që zoterojnë një strukturë të brëndshme të ndërlikuar.
• Analiza numerike, studimi i algoritmeve për përafrimin e problemeve matematikes së vazhdueshme.