Tenzorski produkt

Tenzorski produkt (oznaka ${\displaystyle \,\otimes \,}$) se uporablja na zelo različnih področjih povezanih z vektorji, matrikami, tenzorji, algebrami in topološkimi vektorskimi prostori. V vseh primerih pa pomeni bilinearno operacijo. Tenzorski produkt ni komutativen.

Tenzorji so definirani tako, da jim lahko pripišemo določeno število indeksov. Indeksi so lahko kovariantni (pišemo jih spodaj) ali kontravariantni (pišemo jih zgoraj). Skupno število kovariantnih in kontravariantnih indeksov se imenuje red tenzorja (rang tenzorja), ki pa ni odvisen od števila razsežnosti prostora v katerem opazujemo tenzor. Tenzorji z redom 0 so skalarji, tisti, ki imajo red 1, so vektorji. Vse količine, ki imajo red večji ali enak 2, pa na splošno imenujemo kar tenzorji.

Tenzorski produkt ${\displaystyle V\otimes W\,}$ dveh vektorskih prostorov ${\displaystyle V\,}$ in ${\displaystyle W\,}$ nad obsegom ${\displaystyle K\,}$ se lahko definira z metodo generatorjev in relacij. S tenzorskim produktom dveh vektorskih prostorov dobimo nov vektorski prostor, ki ima razsežnost enako zmnožku razsežnosti posameznih vektorskih prostorov. Podobno dobimo z množenjem celih števil novo celo število.

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 1, ki jih imenujemo vektorji, se določijo posamezne komponente na naslednji način

${\displaystyle {\begin{aligned}(A\otimes B)_{\ j}^{i}&=C_{\ j}^{i}\\&=A^{i}B_{j}\end{aligned}}}$.

Za vrednosti ${\displaystyle i\in \{1,2,3\},~j\in \{1,2,3,4\}}$ je to enako

${\displaystyle A\otimes B=A^{i}\delta _{i}\otimes B_{j}\delta ^{j}=A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{4}A^{i}B_{j}\;(\delta _{i}\otimes \delta ^{j})}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}A^{1}B_{1}&A^{1}B_{2}&A^{1}B_{3}&A^{1}B_{4}\\A^{2}B_{1}&A^{2}B_{2}&A^{2}B_{3}&A^{2}B_{4}\\A^{3}B_{1}&A^{3}B_{2}&A^{3}B_{3}&A^{3}B_{4}\end{bmatrix}}={C}}$.

Tenzorskemu produktu dveh tenzorjev reda 2, ki so matrike, se določijo posamezne komponente takole

${\displaystyle {\begin{aligned}({\underline {\underline {T}}}\otimes {\underline {\underline {G}}})_{\ \ kl}^{ij}&=A_{\ \ kl}^{ij}\\&=T^{ij}G_{kl}\end{aligned}}}$

Tenzorski produkt pa lahko zapišemo kot

${\displaystyle {\begin{aligned}{T}\otimes {G}&=T^{ij}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j})\otimes G_{kl}\;(\delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&=T^{ij}G_{kl}\;(\delta _{i}\otimes \delta _{j}\otimes \delta ^{k}\otimes \delta ^{l})\\&={A}\end{aligned}}}$

kjer je

• ${\displaystyle \delta _{n}\,}$ Kroneckerjeva delta

Če sta ${\displaystyle M\,}$ in ${\displaystyle G\,}$ dva kovariantna tenzorja potem je njun tenzorski produkt enak

${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}...i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}...i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}...i_{m+n}}.}$.

To pa pomeni, da je tenzorski produkt enak običajnemu zmnožku posameznih komponent vsakega tenzorja.

Zgled: Naj bo ${\displaystyle U\,}$ tenzor tipa (1,1) s komponentami ${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }\,}$ in ${\displaystyle V\,}$ naj bo tenzor tipa (1, 0) s komponentami ${\displaystyle V^{\gamma }\,}$. Potem je

${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }V^{\gamma }=(U\otimes V_{\beta }^{\alpha })^{\gamma }\,}$ in

${\displaystyle V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }.}$.

Tenzorski produkt ohrani vse indeksi tako, kot jih imajo posamezni faktorji.

Glavni članek: Kroneckerjev produkt.

Tenzorski produkt dveh matrik se imenujemo tudi Kroneckerjev produkt.

Primer:

${\displaystyle U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{1,1}V&u_{1,2}V&\cdots \\u_{2,1}V&u_{2,2}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1,1}v_{1,1}&u_{1,1}v_{1,2}&\cdots &u_{1,2}v_{1,1}&u_{1,2}v_{1,2}&\cdots \\u_{1,1}v_{2,1}&u_{1,1}v_{2,2}&&u_{1,2}v_{2,1}&u_{1,2}v_{2,2}\\\vdots &&\ddots \\u_{2,1}v_{1,1}&u_{2,1}v_{1,2}\\u_{2,1}v_{2,1}&u_{2,1}v_{2,2}\\\vdots \end{bmatrix}}.}$

Tenzorski produkt dveh matrik ${\displaystyle 2\times 2\,}$ pa je:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$.

Če imamo dve multilinearni preslikavi ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})\,}$ in ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})\,}$ je njun tenzorski produkt multilinearna funkcija

${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$.

• tenzorski produkt grafov

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Vector Space Tensor Product«. MathWorld.
• Tenzorski produkt na PlanethMath Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. (angleško)
• Tenzorski produkt vektorskih prostorov Arhivirano 2011-08-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Površine tenzorskega produkta Arhivirano 2006-09-03 na Wayback Machine. (angleško)
• Tenzorske operacije (angleško)