Psevdosfera

Psevdosfera je izraz, ki se v geometriji uporablja za ploskve s konstantno negativno Gaussovo ukrivljenostjo. Lahko se nanaša na teoretske ploskve z negativno ukrivljenostjo, na traktrikoide ali na hiperboloide.

Kartezična parametrična oblika enačbe ploskve, ki nastane z vrtenjem traktrise okoli asimptote, je

${\displaystyle x=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\cos {\text{ }}v}$

${\displaystyle y=\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\sin {\text{ }}v}$

${\displaystyle z=u-\operatorname {tanh} {\text{ }}u}$

kjer je

• ${\displaystyle u~\epsilon ~(-\infty ,~\infty )}$
• ${\displaystyle v~\epsilon ~[0,~2\pi )}$

Enačbo lahko zapišemo tudi v implicitni oliki v kartezičnih koordinatah^[1]

${\displaystyle z^{2}=[a\cdot \operatorname {sech} ^{-1}{\sqrt {\frac {x^{2}+y^{2}}{a}}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}-y^{2}}}]^{2}}$.

Površina je enaka

${\displaystyle P=2\int \limits _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du{\text{ }}dv=4\pi }$.

Prostornina je

${\displaystyle V=\pi {\text{ }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} {\text{ }}u{\text{ }}\operatorname {tanh} {\text{ }}u{\text{ }}du=2/3\pi }$.

Psevdosfera je ploskev, ki ima ukrivljenost enako ${\displaystyle -1/R^{2}}$. To je podobno kot pri sferi s polmerom ${\displaystyle R\,}$, ki ima ukrivljenost ${\displaystyle 1/R^{2}}$. Pojem je vpeljal italijanski matematik Eugenio Beltrami (1835 – 1900).

Traktrikoido dobimo z vrtenjem traktrise okoli asimptote

Nekateri viri, ki uporabljajo hiperbolni model hiperbolične ravnine, imajo tudi hiperboloid za psevdosfero.

• Dinijeva ploskev
• sfera
• rotacijska ploskev

• Prevdosfera na MathWorld (angleško)
• Prevdosfera v The Encyclopedia of Science (angleško)
• Galerija psevdosfernih ploskev (angleško)