Poševnosimetrična matrika

Poševnosimetrična matrika (tudi antisimetrična matrika) je kvadratna matrika s kompleksnimi elementi, katere transponirana matrika je enaka njeni negativni vrednosti:

${\displaystyle A^{T}=-A\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle A^{T}\,}$ transponirana matrika matrike ${\displaystyle A\,}$.

To lahko zapišemo tudi kot:

${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}\qquad \forall i,j\in \{1,\ldots ,n\}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle a_{ij}\,}$ element matrike ${\displaystyle A\,}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}}\qquad ;\qquad {\begin{pmatrix}0&1&-2\\-1&0&3\\2&-3&0\end{pmatrix}}\!\,.}$

• rang poševnosimetrične matrike je vedno sodo število.

Če ima matrika ${\displaystyle A\,}$ razsežnost ${\displaystyle n\times n\,}$ sta pri izračunu determinante dve možnosti:

• ${\displaystyle n\,}$ je neparno število

${\displaystyle det(A)=det(A^{T})=det(-A)=(-1)^{n}det(A)\,}$

kar pomeni, da je ${\displaystyle det(A)=0\,}$. Ta rezultat se imenuje Jakobijevo pravilo (po nemškem matematiku Carlu Gustavu Jakobu Jacobiju (1804 – 1851)).

• ${\displaystyle n\,}$ je sodo število. V tem primeru lahko determinanto matrike ${\displaystyle A\,}$ pišemo kot kvadrat polinoma elementov matrike ${\displaystyle A\,}$

to je

${\displaystyle det(A)={Pf(A)}^{2}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle Pf(A)\,}$ Pfaffova determinanta (pfafian) (ime ima po nemškem matematiku Johanu Friedrichu Pfaffu (1765 – 1825)) matrike ${\displaystyle A\,}$, ki se izračuna kot ${\displaystyle {\mbox{Pf(A)}}=\pm {\sqrt {\mbox{det(A)}}}}$. Iz tega sledi, da je determinanta nenegativna.

• simetrična matrika
• seznam vrst matrik