Matrika vrtenja

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot ${\displaystyle \theta \,}$ okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

${\displaystyle R^{T}=R^{-1},\det R=1\,}$.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z ${\displaystyle R\,}$ (matrika rotacije).

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}}$.

Tako dobimo nove koordinate ${\displaystyle (x',y')\,}$ za točko ${\displaystyle (x,y)\,}$

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,}$,

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,}$.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je ${\displaystyle \theta \,}$ pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je ${\displaystyle \theta \,}$ negativen.

${\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\,}$.

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

${\displaystyle R(90^{\circ })={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}}$ (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)

${\displaystyle R(180^{\circ })={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}}$ (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)

${\displaystyle R(270^{\circ })={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}}$ (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenja okoli koordinatnih osi ${\displaystyle x,y,z\,}$ v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}}$.

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

V trirazsežnem prostoru, kjer je ${\displaystyle a\,}$ os vrtenja in ${\displaystyle \theta \,}$ je kot vrtenja, ${\displaystyle R_{a,\theta }\in \mathbb {R} ^{3}}$

• ${\displaystyle R_{a,\theta }^{T}=R_{a,\theta }^{-1}}$ (i.e., ${\displaystyle R_{a,\theta }\ }$ je ortogonalna matrika
• ${\displaystyle \det \left(R_{a,\theta }\right)=1}$
• ${\displaystyle R_{a,(\theta +r)}=R_{a,\theta }\cdot R_{a,r}}$
• ${\displaystyle R_{a,0}=I\ }$
• lastne vrednosti ${\displaystyle R_{a,\theta }\ }$ so

${\displaystyle \{1,e^{\lim i\theta }\}=\{1,\ \cos(\theta )+i\sin(\theta ),\ \cos(\theta )-i\sin(\theta )\},}$

• sled matrike ${\displaystyle R_{a,\theta }\ }$ je enaka ${\displaystyle 1+2\cos(\theta )\,}$ kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

• ${\displaystyle a\,}$ os vrtenja
• ${\displaystyle \det \left(R_{a,\theta }\right)\,}$ je determinanta
• ${\displaystyle I\,}$ enotska matrika (${\displaystyle I\in \mathbb {R} ^{n}\,}$)
• ${\displaystyle i\,}$ je običajna imaginarna enota za katero velja ${\displaystyle i^{2}=-1\,}$

Matrika

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}$

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0.936&0.352\\0.352&-0.936\end{bmatrix}}}$

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice ${\displaystyle 11y=2x\,}$

Rotacijska matrika 3×3

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}}$

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi Rotacijska matrika 3×3

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0.36&0.48&-0.8\\-0.8&0.60&0\\0.48&0.64&0.60\end{bmatrix}}}$

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−¹⁄₃,²⁄₃,²⁄₃) Permutacijska matrika 3×3

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija Naslednja matrika 3×3

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}3&-4&1\\5&3&-7\\-9&2&6\end{bmatrix}}}$

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja Matrika 4×3

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0.5&-0.1&0.7\\0.1&0.5&-0.5\\-0.7&0.5&0.5\\-0.5&-0.7&-0.1\end{bmatrix}}}$

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja Matrika 4×4

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

predstavlja izoklinsko vrtenje, Matrika 5×5

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

• Matrika vrtenja na MathWorld (angleško)
• Matrika vrtenja (značilnosti) (angleško)
• Matrika vrtenja na Citizendium (angleško)
• Matrika vrtenja na MathPages (angleško)