Hinčinova konstanta

Hinčinova konstanta je v teoriji števil konstanta, ki kaže da je geometrična sredina delnih količnikov razvoja v verižni ulomek za skoraj vsa realna števila ${\displaystyle \xi \,}$ enaka ne glede na vrednost ${\displaystyle \xi \,}$.

Za poljubno realno število:

${\displaystyle \xi =[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\!\,}$

skoraj vedno velja:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}\,\!,}$

kjer je ${\displaystyle K_{0}\,}$ Hinčinova konstanta:^[1][2]

${\displaystyle K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{r(r+2)}}\right)}^{\operatorname {lb} r}=2,685452001065\ldots \!\,,}$ (OEIS A002210),

kjer je ${\displaystyle \operatorname {lb} r\,}$ dvojiški logaritem.

To značilnost verižnih ulomkov je leta 1933 dokazal Aleksander Jakovljevič Hinčin.^[3][4][5]

Realna števila, za katere ta značilnost ne velja, so na primer racionalna števila, koreni kvadratnih enačb z racionalnimi koeficienti (vključno s številom zlatega reza Φ) in osnovo naravnih logaritmov e.

Števila, za katere ta značilnost velja, so po vsej verjetnosti π, Euler-Mascheronijeva konstanta γ in Hinčinova konstanta sama. To ni dokazano.

Hinčinovo konstanto je težko računati. Ni znano ali je racionalno, algebrsko iracionalno ali transcendentno število.

Neskončni verižni ulomek Hinčinove konstante je (OEIS A002211) :

${\displaystyle K_{0}=[2;1,2,5,1,1,2,1,1,3,10,2,1,3,2,24,1,3,2,3,1,1,1,...]\,\!.}$

Hinčinovo konstanto se lahko izrazi z racionalno vrsto ζ v obliki:

${\displaystyle \log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\!\,}$

ali:

${\displaystyle \log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\left[\sum _{k=3}^{N}\log \left({\frac {k-1}{k}}\right)\log \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle N\,}$ fiksno celo število in ${\displaystyle \zeta (s,q)\,}$ Hurwitzeva funkcija ζ. Obe vrsti sta močno konvergentni, saj se ${\displaystyle \zeta (n)-1\,}$ za velike ${\displaystyle n\,}$ hitro približuje 0. Razvoj se lahko poda tudi s funkcijo dilogaritma:

${\displaystyle \log K_{0}=\log 2+{\frac {1}{\log 2}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]\!\,.}$

Hinčinova konstanta je prva v nizu Hölderjevih sredin izrazov verižnih ulomkov. Če je dana poljubna vrsta ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$, je Hölderjeva sredina reda ${\displaystyle p\,}$ dana kot:

${\displaystyle K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}\!\,.}$

Ko so ${\displaystyle \{a_{n}\}\,}$ členi razvojaa v verižni ulomek, so konstante dane z:

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\operatorname {lb} \left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}\!\,.}$

To sledi, če se uporabi p-ta sredina v povezavi z Gauss-Kuzminovo porazdelitvijo. Vrednost Hinčinove konstante ${\displaystyle K_{0}\,}$ izhaja iz limite ${\displaystyle p\to 0\,}$.

• Lévyjeva konstanta (Hinčin-Lévyjeva konstanta)
• Hinčinova harmonična sredina

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Khinchin's constant«. MathWorld.

Ta matematični članek je škrbina. Pomagajte Wikipediji in ga razširite.

• p
• p
• u