Hermitski operator

Hermitski operator je matematični operator, kjer vsak operator ${\displaystyle O}$ predstavlja sebi-adjungiran operator ${\displaystyle O^{\dagger }}$ v geometrijskem prostoru.

${\displaystyle {\displaystyle O}=O^{\dagger }}$, v vektorskem prostoru označimo to s pomočjo notranjega produkta in sicer je$${\displaystyle {\displaystyle \left\langle Ox,y\right\rangle =\left\langle x,O^{\dagger }y\right\rangle \rightarrow \left\langle Ox,y\right\rangle =\left\langle x,Oy\right\rangle }}$$Hermitski operator je uvedel Charles Hermite. Ta se najpogosteje uporablja v kvantni mehaniki in kvantni fiziki. Najdemo ga prav v Schrödingerjevi enačbi.

Hermitska matrika je enaka svoji adjungirani matriki ${\displaystyle A={\displaystyle A^{\dagger }}}$,

Ta ima realne lastne vrednosti in ortogonalne lastne vektorje.

Naj bo ${\displaystyle O}$ hermitski operator. Lastne vrednosti prostorske matrike označimo z ${\displaystyle \lambda _{i}}$, ustrezne lastne vrednosti pa označimo kar z ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$.

Stanje ${\displaystyle |\psi \rangle }$, razvijemo po lastnih vektorjih operatorja ${\displaystyle O}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\alpha _{i}|\lambda _{i}\rangle }$

Pričakovana vrednost operatorja ${\displaystyle O}$ v stanju ${\displaystyle |\psi \rangle }$ bo tako

${\displaystyle \left\langle L\right\rangle =\langle \psi |L|\psi \rangle =\sum _{i}(\alpha _{i}^{\dagger }\alpha _{i})\lambda _{i}}$