Riemannova guľa

Riemannova guľa alebo Riemannova sféra, pomenovaná podľa Bernharda Riemanna, je matematický koncept umožňujúci rozšíriť Gaussovu rovinu komplexných čísel o bod reprezentujúci nekonečno takým spôsobom, že možno zmysluplne pracovať s výrazmi typu

${\displaystyle 1/0=\infty }$.

Riemannova guľa sa niekedy označuje aj:

• Komplexná projektívna priamka, označovaná ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ alebo
• Rozšírená komplexná rovina, prípadne rozšírená Gaussova rovina, označovaná ${\displaystyle \mathbb {\hat {C}} }$ alebo ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$.

Z čisto algebraického pohľadu, komplexné čísla s nevlastným bodom v nekonečne tvoria systém, ktorý býva označovaný ako rozšírené komplexné čísla. Avšak aritmetika s nekonečnom sa neriadi zvyčajnými pravidlami, a preto takáto štruktúra netvorí pole. Výpočty na Riemannovej guli sa však z geometrického aj analytického pohľadu správajú rozumne aj v nekonečne.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, nazývaná aj Riemannova plocha.

V komplexnej analýze sa Riemannova guľa používa najmä v teórii meromorfných funkcií. Veľmi často sa využíva v projektívnej a algebraickej geometrii, keďže je jedným zo základných príkladov komplexnej variety, projektívneho priestoru, ako aj algebraickej variety. Koncept Riemannovej gule tiež nachádza uplatnenie v nematematických odvetviach, ktoré využívajú matematickú analýzu a geometriu - predovšetkým v kvantovej mechanike a iných oblastiach fyziky.

Riemannova guľa je jednorozmerná komplexná varieta, ktorej atlas pozostáva z dvoch komplexných súradníc ${\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }$, kde

${\displaystyle \zeta :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C} }$ je definovaná ako ${\displaystyle \zeta (z)=z}$

a

${\displaystyle \xi :{\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} }$ je definovaná ako ${\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{z}}}$ pre ${\displaystyle z\neq \infty }$ a 0 pre ${\displaystyle z=\infty }$.

Takáto definícia intuitívne zodpovedá zlepeniu dvoch rovín, ktoré pokrývajú takmer celú guľu, až na jeden bod (ktorý je pre jednu rovinu 0 a pre druhú ${\displaystyle \infty }$). Počiatok ${\displaystyle \zeta }$-súradnice hrá v tomto prípade úlohu nekonečna pre ${\displaystyle \xi }$-súradnicu a naopak.

Riemannova guľa môže byť interpretovaná nasledujúcim spôsobom: ide o guľu, ktorá sa južným pólom dotýka počiatku Gaussovej roviny. Ktorémukoľvek bodu z Gaussovej roviny možno priradiť bod na Riemannovej gule preložením priamky medzi bodom z a severným pólom gule. Bod, v ktorom sa táto priamka pretne s povrchom Riemannovej gule je bod Riemannovej gule odpovedajúci bodu z. Severný pól Riemannovej gule odpovedá nekonečnu, čo je v súlade s prirodzenou geometrickou predstavou.^[1][2]

• Komplexná analýza
• Gaussova rovina
• Stereografická projekcia

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Riemannova guľa

• Riemannova guľa Archivované 2010-06-20 na Wayback Machine - PlanetMath (po anglicky)
• Riemannova guľa - Wolfram MathWorld (po anglicky)

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článkov Riemann sphere na anglickej Wikipédii a Riemannova koule na českej Wikipédii.