Potenciálová bariéra

Potenciálová bariéra alebo potenciálový val sa vo fyzike označuje také rozloženie potenciálu, že jeho hodnota je v určitej (obmedzenej) oblasti nenulová, pričom sa predpokladá, že je (aspoň približne) konštantná, konečná a kladná, zatiaľ čo mimo túto oblasť je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozmernom prípade je možné potenciálovú bariéru vyjadriť potenciálom

${\displaystyle V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}x<0\quad {\mbox{ a }}\quad x>a\\V_{0}&{\mbox{ pre }}0<x<a\end{matrix}}\right.}$

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantovej mechanike popísať základné vlastné vlastnosti kvantového tunelovania.

Obdobným prípadom ako potenciálová bariéra je tzv. potenciálová jama, kedy je ${\displaystyle V_{0}<0}$.

V klasickej mechanike je pohyb častíc povolený iba v oblasti, kde energia ${\displaystyle E}$ častice je menšia ako hodnota potenciálu.

Pokiaľ sa teda častica s ${\displaystyle E<V_{0}}$ pohybuje smerom k potenciálovej bariére, potom sa môže pohybovať iba mimo oblasť ${\displaystyle 0<x<a}$. Do oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ takáto častica nemôže vstúpiť. V klasickej mechanike sa teda častice nachádzajúce v oblasti ${\displaystyle x<0}$ nemôžu dostať do oblasti ${\displaystyle x>a}$ a naopak. Potenciálová bariéra je pre takéto častice nepriepustnou stenou, ktorá oddeľuje obe oblasti ${\displaystyle x<0}$ a ${\displaystyle x>a}$.

Častice s ${\displaystyle E>V_{0}}$ sa môžu pohybovať i v oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ a môžu teda cez potenciálovú bariéru prechádzať. Takáto klasická častica pohybujúca sa smerom k potenciálovej bariére cez túto bariéru vždy prejde, tzn. nikdy nedôjde ku jej odrazu. K odrazu častice od bariéry dochádza iba v prípade ${\displaystyle E<V_{0}}$.

V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice.

Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť ${\displaystyle x<0}$, oblasť ${\displaystyle 0<x<a}$ a pre oblasť ${\displaystyle x>a}$. V bodoch ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$ je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie.

Schrödingerove rovnice teda majú tvar

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}}$

Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice ${\displaystyle E}$ je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry ${\displaystyle V_{0}}$. Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti ${\displaystyle x<0}$). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$. V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu ${\displaystyle x=a}$, kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opäť čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti ${\displaystyle x>a}$. V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna ${\displaystyle \psi _{I}}$ opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere ${\displaystyle +x}$ a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere ${\displaystyle -x}$. Podobne v oblasti ${\displaystyle 0<x<a}$ je možné výslednú vlnu ${\displaystyle \psi _{II}}$ opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti ${\displaystyle x>a}$ je možné nájsť iba prešlú vlnu ${\displaystyle \psi _{III}}$ pohybujúcu sa v smere ${\displaystyle +x}$.

Ak zavedieme konštanty

${\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$

${\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}$

potom je možné všeobecné riešenie vyjadriť v tvare

${\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

${\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}}$

${\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient u člena opisujúceho v oblasti ${\displaystyle x>a}$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. ${\displaystyle G=0}$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$, tzn. na základe rovností ${\displaystyle \psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)}$, ${\displaystyle \psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)}$, ${\displaystyle \psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)}$ a ${\displaystyle \psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)}$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty ${\displaystyle A,B,C,D,F}$, tzn.

${\displaystyle A+B=C+D}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)}$

${\displaystyle C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

Pravdepodobnosť prechodu kvantovej častice cez bariéru je možné pre ${\displaystyle E>V_{0}}$ vyjadriť vzťahom

${\displaystyle T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}}$

Pravdepodobnosť odrazu od bariéry sa rovná

${\displaystyle R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T}$

Pre ľubovoľne široký a vysoký potenciálový val je táto pravdepodobnosť nenulová. Táto pravdepodobnosť však s rastúcou šírkou valu a rastúcim rozdielom energií ${\displaystyle V_{-}E}$ veľmi rýchlo klesá. Z tohto dôvodu je teda pri makroskopických procesoch tento jav zanedbateľný a nie je ho potrebné uvažovať.

Ak zavedieme konštanty

${\displaystyle k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}$

${\displaystyle k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}}$

potom je všeobecné riešenie možné vyjadriť v tvare

${\displaystyle \psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

${\displaystyle \psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}}$

${\displaystyle \psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient člena opisujúceho v oblasti ${\displaystyle x>a}$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. ${\displaystyle G=0}$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch ${\displaystyle x=0}$ a ${\displaystyle x=a}$, tzn. na základe rovnosti ${\displaystyle \psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)}$, ${\displaystyle \psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)}$, ${\displaystyle \psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)}$ a ${\displaystyle \psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)}$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty ${\displaystyle A,B,C,D,F}$, tzn.

${\displaystyle A+B=C+D}$

${\displaystyle \mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)}$

${\displaystyle C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

${\displaystyle -k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}}$

Pravdepodobnosť prechodu častice bariérou je možné vyjadriť ako

${\displaystyle T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$

Častica dopadajúca na potenciálový val sa teda podľa kvantovej mechaniky nemusí vždy odraziť, ale môže bariérou s určitou pravdepodobnosťou prejsť. Prechod častice bariérou je čisto kvantový jav, s kterým sa v klasickej mechanike nestretneme. Tento jav sa označuje ako tunelový jav alebo kvantové tunelovanie.

• Potenciálna energia
• Potenciálový skok
• Potenciálová jama
• Tunelový jav

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Potenciálová bariéra na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).