Einsteinova sumačná konvencia

Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je v matematike a fyzike, špeciálne v oblasti lineárnej algebry, spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein v roku 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\ }$

automaticky znamená

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}.}$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Ak máme priestor s metrickým tenzorom ${\displaystyle g_{ij}}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

${\displaystyle g^{ac}g_{cb}:=\delta _{b}^{a},}$

kde ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak ${\displaystyle a=b}$ a rovný 0, ak ${\displaystyle a\neq b}$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

${\displaystyle \sharp _{g}\,:\quad \alpha _{a}\mapsto \alpha ^{a}:=g^{ab}\alpha _{b}}$

${\displaystyle \flat _{b}\,:\quad v^{a}\mapsto v_{a}:=g_{ab}v^{b}}$

Veličinám ${\displaystyle v_{a},v^{a}}$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora ${\displaystyle v}$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore ${\displaystyle g_{ab}=\delta _{ab}}$, čísla ${\displaystyle v_{a}}$ a ${\displaystyle v^{a}}$ sú rovnaké, pre každé ${\displaystyle v}$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

V každom vektorovom priestore ${\displaystyle V}$si možno zvoliť bázu. Ak ${\displaystyle \dim V=n}$, tak báza má ${\displaystyle n}$ bázových prvkov ${\displaystyle e_{i}}$ a každý vektor možno pomocou nej jednoznačne rozpísať do komponent ${\displaystyle v^{i}}$. Zapisuje sa teda

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}=v^{i}e_{i}=\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{array}}\right)}$

K vektorovému priestoru možno priradiť duálny priestor ${\displaystyle V^{\ast }}$ lineárnych zobrazení ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ (kovektorov), v ktorom existuje istá preferovaná báza ${\displaystyle e^{i}}$. Je to zobrazenie, pre ktoré platí

${\displaystyle \langle e^{i},e_{j}\rangle :=e^{i}(e_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

Pomocou tejto bázy možno každý kovektorov jednoznačne reprezentovať ako

${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{i}=\alpha _{i}e^{i}=\left(\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\cdots \,\alpha _{n}\right)}$

Skalárny súčin dvoch vektorov ${\displaystyle u,v}$možno zapísať ako

${\displaystyle h(u,v)=h_{ij}u^{i}v^{j}}$,

kde ${\displaystyle h_{ij}}$ je matica skalárneho súčinu. Pre bežný skalárny súčin v euklidovskom priestore možno písať zjednodušene

${\displaystyle h(u,v)=u_{i}v^{i}=u^{i}v_{i}}$

Vektorový súčin v E3 dvoch vektorov možno zapísať ako

${\displaystyle (u\times v)_{i}=\varepsilon _{ijk}u^{j}v^{k}}$,

kde ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ je úplne antisymetrický Levi-Civitov tenzor, ${\displaystyle \varepsilon _{123}=1}$.

Veľkosť vektora v priestore s metrickým tenzorom ${\displaystyle g_{ij}}$ sa počíta ako

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {g_{ij}v^{i}v^{j}}}={\sqrt {v_{i}v^{i}}}}$.

${\displaystyle \nabla }$ (nabla) je diferenciálny operátor, so zložkami

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left(\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right),}$

ktoré budeme označovať ako ${\displaystyle \partial _{i}}$. Zostávajúc v E3, v Einsteinovej sumačnej konvencii možno písať

${\displaystyle \left({\textrm {grad}}\,h\right)_{i}=\left(\nabla h\right)_{i}=\partial _{i}h}$

${\displaystyle \left({\textrm {rot}}\,{\textbf {A}}\right)_{i}=\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A_{k}}$

${\displaystyle {\textrm {div}}\,{\textbf {A}}=\nabla \cdot {\textbf {A}}=\partial _{i}A_{i}}$

${\displaystyle \triangle {\textbf {A}}=\partial _{i}\partial _{i}{\textbf {A}}}$

Maticami možno reprezentovať všetky dvojindexové tenzory. Ak sú indexy tenzora vedľa seba, prvý z nich označuje riadok a druhý stĺpec matice. Ak sú indexy nad sebou, horný preberá úlohu prvého.

Maticové násobenie

${\displaystyle ({\textbf {A}}\cdot {\textbf {B}})_{j}^{i}=A_{k}^{i}B_{j}^{k}}$

Stopa matice

${\displaystyle {\textrm {Tr}}{\textbf {A}}=A_{i}^{i}}$

Einsteinovu sumačnú konvenciu možno šikovne využiť napríklad pri dôkazoch identít, kde vystupujú skalárne, vektorové a tenzorové súčiny. Uvedieme niekoľko príkladov pri práci v E3. Často sa pri tom budeme odvolávať na nasledujúce vzťahy:

${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}\cdot {\textbf {e}}_{j}=\delta _{ij}}$ (ortonormovanosť bázy)

${\displaystyle {\textbf {e}}_{i}\times {\textbf {e}}_{j}=\varepsilon _{ijk}{\textbf {e}}_{k}}$ (pravotočivosť bázy)

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{jki}=\varepsilon _{kij}}$ (vyplýva z antisymetričnosti Levi-Civitovho tenzora)

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{mnk}=\delta _{im}\delta _{jn}-\delta _{in}\delta _{jm}}$ (Mnemotechnická pomôcka: Davis-cupová identita. Prvý deň hrál prvý s prvým a druhý s druhým, druhý deň prvý s druhým a druhý s prvým.)

${\displaystyle {\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right){\textbf {b}}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right){\textbf {c}}\,}$

Pre ${\displaystyle i}$-tu zložku vektora vľavo dostávame ${\displaystyle \left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)_{i}\,}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}a_{j}\left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)_{k}}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}a_{j}\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m}\,}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmk}a_{j}b_{l}c_{m}\,}$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. ${\displaystyle \left({\textbf {a}}\times \left({\textbf {b}}\times {\textbf {c}}\right)\right)_{i}\,}$ ${\displaystyle =\left(\delta _{il}\delta {jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)a_{j}b_{l}c_{m}}$ ${\displaystyle {\stackrel {(1)}{=}}a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}}$ ${\displaystyle =\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)b_{i}-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}}\right)c_{i}}$ V úprave (1) sme použili ortonormovanosť bázy, teda ${\displaystyle \delta _{ij}v_{i}=v_{j}}$. Dospeli sme k rovnosti dvoch vektorov v ${\displaystyle i}$-tej zložke. Index ${\displaystyle i}$ ale môže nadobúdať hociktorú z hodnôt 1,2,3, to znamená že vektory sa rovnajú v každej zložke. Tým dostávame dokazovanú identitu.

${\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)=\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)\,}$

V Einsteinovej sumačnej konvencii dostávame pre tento skalárny súčin ${\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,}$ ${\displaystyle =\left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)_{i}\left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)_{i}}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\varepsilon _{ilm}c_{l}d_{m},}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{jki}\varepsilon _{lmi}a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}\,}$ Teraz využijeme "Davis-cupovú" identitu. ${\displaystyle \left({\textbf {a}}\times {\textbf {b}}\right)\cdot \left({\textbf {c}}\times {\textbf {d}}\right)\,}$ ${\displaystyle =\left(\delta _{jl}\delta {km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)a_{j}b_{k}c_{l}d_{m}}$ ${\displaystyle =a_{j}b_{k}c_{j}d_{k}-a_{j}b_{j}c_{k}d_{j}}$ ${\displaystyle =\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {d}}\right)-\left({\textbf {a}}\cdot {\textbf {d}}\right)\left({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}}\right)}$

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\triangle {\textbf {A}}\,}$

Pre ${\displaystyle i}$-tu zložku vektora vľavo platí ${\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left(\nabla \times {\textbf {A}}\right)_{k}}$ ${\displaystyle =\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\varepsilon _{klm}\partial _{l}A_{m},}$ Keďže ${\displaystyle \varepsilon _{klm}}$ je konštanta, možno ho vybrať pred operátor derivácie ${\displaystyle \partial _{j}}$. Ďalej využijeme "Davis-cupovú" identitu. ${\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,}$ ${\displaystyle =\left(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}\right)\partial _{j}\partial _{l}A_{m}}$ ${\displaystyle =\partial _{j}\partial _{i}A_{i}-\partial _{j}\partial _{j}A_{i}}$ Poradie derivácii možno zameniť, preto možno prvý člen ešte upraviť. ${\displaystyle \left(\nabla \times \nabla \times {\textbf {A}}\right)_{i}\,}$ ${\displaystyle =\partial _{i}\left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)_{i}}$ ${\displaystyle =\left(\nabla \left(\nabla \cdot {\textbf {A}}\right)\right)_{i}-\left(\triangle {\textbf {A}}\right)_{i}}$ Vidíme, že ľavá a pravá strana sa rovnajú vo všetkých zložkách. To znamená, že dokazovaná identita platí.

Vo fyzike sa stretneme s Einsteinovou sumačnou konvenciou veľmi často, špeciálne tam, kde sa veľa narába s tenzormi. Uvedieme niekoľko príkladov:

• Hookov zákon v tenzorovom tvare

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl},}$

kde ${\displaystyle \sigma {ij}}$ je tenzor napätia, ${\displaystyle \varepsilon _{kl}}$ tenzor deformácie a tenzor ${\displaystyle c_{ijkl}}$ je tenzor vyjadrúci tuhosť prostredia. Má ${\displaystyle 3^{4}=81}$ komponent, z ktorých (vzhľadom na symetrie) je v najhoršom prípade 21 nezávislých.

• Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy obsahujúca divergenciu tenzora sa dá pohodlne prepísať ako

${\displaystyle \varrho \left(\partial _{t}v_{i}+v_{i}\partial _{j}v_{j}\right)=\partial _{j}\sigma _{ij}+f_{i}}$,

kde ${\displaystyle \partial _{t}}$ označuje parciálnu deriváciu podľa času a teda ${\displaystyle t}$ neznamená voľný index.

• Christoffelove symboly (druhého druhu) sú definované pomocou metrického tenzora predpisom

${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right),}$

kde index za čiarkou v dolnom indexe symbolizuje deriváciu podľa príslušnej súradnice.

• Riemannov tenzor krivosti sa vyjadruje cez Christoffelove symboly vzťahom

${\displaystyle R_{\,jkl}^{i}=\Gamma _{jl,k}^{i}-\Gamma _{jk,l}^{i}+\Gamma _{jl}^{m}\Gamma _{mk}^{i}-\Gamma _{jk}^{m}\Gamma _{ml}^{i}}$

• M. Fecko: Sylabus k prednáškam z teoretickej mechaniky: http://davinci.fmph.uniba.sk/~fecko1/teormech/primech13.pdf
• M. Fecko: Diferenciálna geometria a Lieove grupy pre fyzikov. Vydavateľstvo Iris, Bratislava, 2008.