Dualnost po Pontrjaginu

U matematici, posebno harmonijskoj analizi i teoriji topoloških grupa, dualnost po Pontrjaginu je postupak koji daje opšta svojstva Furijeove transformacije na abelovim lokalno kompaktnim topološkim grupama.

Dualnost po Pontrjaginu postavlja u jedinstveni kontekst zapažanja o harmonijskoj analizi funkcija na realnoj pravoj ili konačnim abelovim grupama:

• Svakoj (podesno regularnoj) periodičnoj funkciji odgovara niz Furijeovih koeficijenata, čime se ova funkcija razlaže na elementarne harmonijske komponente. Obrnuto, svakom (podesnom regularnom) nizu Furijeovih koeficijenata odgovara periodična funkcija koja se dobija odgovarajućom superpozicijom elementarnih harmonika. Polazna funkcija se može rekonstruisati iz niza svojih Furijeovih koeficijenata kao suma odgovarajućeg Furijeovog reda. Polazni niz koeficijenata se može rekonstruisati iz svoje Furijeove transformacije u diskretnom vremenu njenim razlaganjem na elementarne komponente .
• Svakoj (podesno regularnoj) kompleksnoj funkciji na realnoj pravoj odgovara njena neprekidna Furijeova transformacija, koja je takođe kompleksna funkcija na realnoj pravoj. Polazna funkcija se može rekonstruisati iz svoje Furijeove transformacije (kao njena inverzna Furijeova transformacija), i obrnuto.
• Svakoj komplesnoj funkciji na konačnoj abelovoj grupi odgovara njena diskretna Furijeova transformacija, koja je funkcija na dualnoj grupi, koja je i sama konačna abelova grupa, zapravo (ne-kanonski) izomorfna polaznoj grupi. Polazna funkcija se može rekonstruisati iz svoje diskretne Furijeove transformacije (kao njena inverzna diskretna Furijeova transformacija), i obrnuto.

U opštem, svakoj lokalno kompaktnoj abelovoj grupi G odgovara druga lokalno kompaktna abelova grupa G^, njena dualna grupa (ili Pontrjaginov dual), pri čemu je dualna grupe grupe G^ kanonski izomorfna polaznoj grupi G. Dualnost između prostora funkcija na G i G^ realizuje se pomoću integracije po meri Haara.

Ova veoma opšta konstrukcija, koju je uveo ruski matematičar Lav Semjonovič Pontrjagin, igra važnu ulogu u apstraktnoj teoriji Furijeovih transformacija (odnosno harmonijske analize na opštim prostorima), strukturnoj teoriji lokalno kompaktnih abelovih topoloških grupa i teoriji brojeva.

Neka je G lokalno kompaktna abelova topološka grupa.

Kružna grupa T = { z ∈ C : |z| = 1 } je kompaktna abelova grupa u odnosu na množenje; z = e^2πix daje izomorfizam ( T, · ) ≅ ( R / Z, + ).

Karakter grupe G je neprekidni homomorfizam grupe G u T. Ovo je „topološki“, neprekidni, karakter, koji uzima u obzir topologiju grupe G, za razliku od karaktera u smislu apstraktne teorije grupa, koji je bilo koji homomorfizam iz G u T, ili čak iz G u C^× (ove potonje ponekad nazivamo kvazikarakterima). Ukoliko postoji mogućnost zabune, neprekidne homomorfizme G → T nazivamo neprekidnim unitarnim karakterima grupe G.

Dualna grupa G^ grupe G jeste skup svih (neprekidnih unitarnih) karaktera grupe G^ u odnosu na operaciju tačka-po-tačka množenja:

(χ · ψ) (g) := χ(g)ψ(g).

G^ čini abelovu grupu u odnosu na ovu operaciju; neutralni element je trivijalni karakter χ₀ = 1, inverzni element odgovara kompleksnom konjugovanju. Na G^ uvodimo kompaktno-otvorenu topologiju, odnosno topologiju ravnomerne konvergencije na kompaktnim skupovima; pokazuje se da ova topologija čini G^ lokalno kompaktnom topološkom grupom.

• Svaki karakter kružne grupe T je oblika χ_n : T → T, χ_n(z) = zⁿ za neko n ∈ Z. Pritom je χ_mχ_n = χ_m + n, tako da grupna operacija na T^ odgovara sabiranju indeksa. Identifikujući χ_n ↔ n imamo T^ ≅ Z.
• Svaki karakter grupe Z je oblika χ_z : Z → T, χ_z(n) = zⁿ za neko z ∈ T (z je naprosto vrednost karaktera u tački 1). Pritom je χ_zχ_w = χ_zw, tako da grupna operacija na Z^ odgovara množenju indeksa. Identifikujući χ_z ↔ z imamo Z^ ≅ T.
• Dokazuje se neposredno iz definicije da, ako je H podrgupa od G, dualna grupa (G/H)^ se može identifikovati sa podgrupom dualne grupe G^ koja se sastoji od karaktera grupe G trivijalnih na H.
• Koristeći prethodno i identifikaciju ( R/Z, + ) ≅ ( T, · ), gornja dva primera se mogu formulisati i ovako. Karakter aditivne grupe R je periodičan sa periodom 1 ako i samo ako je trivijalan na Z; grupa ovakvih karaktera je (R/Z)^. Svaki od njih je oblika χ_n(x) = e^2πinx za neko n ∈ Z. Pritom je χ_mχ_n = χ_m + n, te identifikujući χ_n ↔ n imamo (R/Z)^ ≅ Z. Obrnuto, svaki karakter grupe Z je oblika χ_x(n) = e^2πinx za neko x ∈R. Pritom je χ_xχ_y = χ_x + y, kao i χ_x = χ_y ako i samo ako je x −y ∈ Z, te identifikujući χ_x ↔ (x + Z) imamo Z^ ≅ R/Z.
• Aditivna grupa realnih brojeva R je lokalno kompaktna abelova grupa u odnosu na standardnu euklidsku topologiju. Svaki njen karakter je oblika χ_y : R → T, χ_y(x) = e^2πixy za neko y ∈ R. Pritom je χ_yχ_w = χ_y + w, tako da grupna operacija na R^ odgovara sabiranju indeksa. Štaviše, može se proveriti da je identifikacija χ_y ↔ y homeomorfizam, pa dakle i izomorfizam topoloških grupa R^ ≅ R.
• Neka je n prirodan broj i Z_n ≅ Z/nZ grupa ostataka po modulu n, sa operacijom sabiranja po modulu n (izomorfna faktor-grupi aditivne grupe Z po podgrupi nZ). Svaki karakter ove grupe je oblika χ_m : Z/nZ → T, χ_m([k]) = e^2πimk / n za neko m ∈ Z. Pritom je χ_mχ_p = χ_m + p, tako da grupna operacija na (Z/nZ)^ odgovara sabiranju indeksa. Takođe je χ_m = χ_p ako i samo ako je m ≡ p (mod n), tako da identifikujući χ_m ↔ [m (mod n)] imamo (Z/nZ)^ ≅ Z/nZ.

Svako g ∈ G definiše preslikavanje

g˜ : G^ → T, g˜(χ) := χ(g)

Pritom je g˜(χ₁χ₂) = g˜(χ₁)g˜(χ₂), odnosno g˜ je homomorfizam grupe G^ u kružnu grupu T, za koji se pokazuje da je neprekidan u (kompaktno-otvorenoj) topologiji grupe G^, pa je dakle i element njene dualne grupe (G^)^. Drugim rečima, karakter g˜ je „karakter izračunavanja“ na dualnoj grupi G^, koji izračunava vrednosti karaktera u G^ na fiksiranom g u polaznoj grupi G.

Ovim je dalje definisan homomorfizam grupa

˜ : G → (G^)^, g ↦ g˜

(jer je (gh)˜ = g˜h˜), za koji se ispostavlja da je zapravo izomorfizam grupa, i topološki homeomorfizam, odnosno izomorfizam topoloških grupa.

Teorema (Dualnost po Pontrjaginu). Dualna grupa grupe G^ je kanonski izomorfna (putem ˜) grupi G, odnosno imamo kanonski izomorfizam topoloških grupa (G^)^ ≅ G.

Odrednica "kanonski" u gornjoj teoremi označava da je preslikavanje koje ostvaruje izomorfizam definisano prirodno, bez fiksiranja nekih dopunskih parametara koji ne figurišu u iskazu izomorfizma, što se u teoriji kategorija formalizuje pojmom prirodne transformacije. Na primer, iako je u slučaju kada je G = Z/nZ ciklična grupa reda n, i dualna grupa G^ i sama ciklična grupa reda n sa izomorfizmom datim u prethodnom odeljku, taj izomorfizam nije kanonski, jer zavisi od učinjenog izbora kompleksnog n-tog primitivnog korena jedinice e^2πi / n, koji se može izabrati na φ(n) načina (gde je φ Ojlerova fi funkcija), naime kao e^2πil / n za ma koje 1 ≤ l ≤ n uzajamno prosto sa n. Na sličan način ni u slučaju G = R nije kanonski izomorfizam G^ ≅ G.

Dualnost između prostora funkcija na G i G^ ostvaruje se putem Furijeove transformacije, pri čemu se integracija vrši po merama Haara. Dualna grupa lokalno kompaktne abelove grupe G je i uvedena kao ambijentalni prostor za apstraktnu harmonijsku analizu na G.

Neka su μ i ν mere Haara na G i G^. Ako je f funkcija u L¹(G), tada je njena Furijeova transformacija funkcija f^ na G^ data sa

${\displaystyle {\hat {f}}(\chi )=\int _{G}f(g){\overline {\chi (g)}}\,{\mbox{d}}\mu (g)}$.

Slično, ako je φ funkcija u L¹(G^), tada je njena inverzna Furijeova transformacija funkcija φˇ na G data sa

${\displaystyle {\check {\varphi }}(g)=\int _{\hat {G}}\varphi (\chi )\chi (g)\,{\mbox{d}}\nu (\chi )}$.

Ovako definisana Furijeova transformacija ima veliki broj svojstava klasične Furijeove analize. Mere Haara su definisane jednoznačno samo do na množenje pozitivnom konstantom, ali se dokazuje da za datu meru Haara μ na G postoji tačno jedna mera Haara ν na G takva da je

${\displaystyle \int _{G}|f(g)|^{2}\,{\mbox{d}}\mu (g)=\int _{\hat {G}}|{\hat {f}}(\chi )|^{2}\,{\mbox{d}}\nu (\chi )}$

za svaku neprekidnu funkciju f sa kompaktnim nosačem u G. Kažemo da su ovakve mere μ i ν asocirane. Kako je prostor C_c(G) ⊂ L¹(G) ∩ L²(G) neprekidnih funkcija sa kompaktnim nosačem gust u prostoru L²(G) kvadratno-integrabilnih funkcija na G, i kako je L²(G) kompletan, uobičajenim postupkom približavanja u funkcionalnoj analizi sledi da Furijeova transformacija ima jedinstveno proširenje sa L¹(G) ∩ L²(G) do unitarnog preslikavanja

F : L²(G,μ) → L²(G^,ν),

koje nazivamo Furijeovom transformacijom na prostoru kvadratno-integrabilnih funkcija. Stav da je Furijeova transformacija unitarno preslikavanje, odnosno izometrija Hilbertovih prostora, je iskaz Planšerelove jednakosti

||f||₂ = ||f^||₂.

Vredi i Furijeova formula inverzije

(f^)ˇ = f.

Dualna grupa kompaktne grupe je diskretna grupa. Dualna grupa diskretne grupe je kompaktna grupa.

• Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
• Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
• Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
• Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968 (2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000).
• Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.