Plan (geometrie)

 

În lucrarea lui Euclid, Elementele, planul este o noțiune fundamentală, la fel ca și dreapta și punctul.^[1] Una din axiomele geometriei euclidiene este:

• „Prin trei puncte necoliniare trece un plan și numai unul”.

Corolare ale acestei axiome sunt:

• „Printr-o dreaptă și un punct nesituat pe această trece un plan și numai unul”.
• „Prin două drepte secante trece un plan și numai unul”.

Într-un spațiu tridimensional, există doar două poziții relative a două plane:

• Paralele: Intersecția lor este vidă;
• Secante: Intersecția lor este o dreaptă.

Considerând dreapta (D), și planul (P), pozițiile relative dintre acestea pot fi:

• (D), este inclusă în (P);
• Intersecția dintre (D) și (P) este un punct;
• (D) și (P) sunt disjuncte.
• Într-un spațiu tridimensional, (D) este paralelă cu (P) dacă și numai dacă (D) este inclusă în (D) sau disjunctă de (P).

• Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
• Două plane perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

 

Fie punctele necoliniare ${\displaystyle p_{1}}$ =(${\displaystyle x_{1}}$ , ${\displaystyle y_{1}}$ , ${\displaystyle z_{1}}$ ), ${\displaystyle p_{2}}$ =(${\displaystyle x_{2}}$ , ${\displaystyle y_{2}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ ), și ${\displaystyle p_{3}}$ =(${\displaystyle x_{3}}$ , ${\displaystyle y_{3}}$ , ${\displaystyle z_{3}}$ ).

Planul care trece prin ${\displaystyle p_{1}}$ , ${\displaystyle p_{2}}$ , și ${\displaystyle p_{3}}$  poate fi definit ca mulțimea punctelor (x, y, z) care îndeplinesc următoarele ecuații echivalente:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x&y&z&1\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$ 

În particular, ecuația planului care trece prin punctele ${\displaystyle (a,0,0)}$ , ${\displaystyle (0,b,0)}$ , ${\displaystyle (0,0,c)}$  se poate exprima și într-o formă mai simplă:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1}$ 

 

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {v} +t\mathbf {w} ,}$ 

unde s și t variază peste toate numerele reale, ${\displaystyle v}$  și ${\displaystyle w}$  sunt vectorii care definesc planul, și ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$  este vectorul care reprezintă poziția unui punct arbitrar, dar fix, de pe plan. Vectorii ${\displaystyle v}$  și ${\displaystyle w}$  încep de la ${\displaystyle r}$  și sunt îndreptați în direcții diferite, de-a lungul planului. ${\displaystyle v}$  și ${\displaystyle w}$  pot fi perpendiculari, dar nu paraleli.

Fie ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$  vectorul de poziție a unor punct ${\displaystyle P_{0}}$  în plan, și n un vector nenul normal cu planul. Un punct ${\displaystyle P}$  cu vectorul de poziție ${\displaystyle \mathbf {r} }$  se află în plan dacă și numai dacă vectorul dintre ${\displaystyle P_{0}}$  și ${\displaystyle P}$  este perpendicular pe n. Se știe că doi vectori sunt perpendiculari dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero, rezultă că planul dorit poate fi exprimat ca mulțimea tuturor punctelor r astfel încât:

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0}$ 

Rezultă că:

${\displaystyle n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,\,}$ 

care este ecuația planului. ^{[3] [4]}

Pentru un plan ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0\,}$  și un punct ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$  nu neapărat situat pe plan, distanța cea mai scurtă de la ${\displaystyle p_{1}}$  la plan este

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}$ 

Dreapta de intersecție dintre planele de ecuații ${\displaystyle \Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}}$  și ${\displaystyle \Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}}$  este dată de

${\displaystyle \mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})}$ 

unde:

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}}$ 

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}}$ 

Considerând două plane decrise de ecuațiile ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,}$  și ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,}$ , unghiul diedru dintre ele este definit a fi unghiul ${\displaystyle \alpha }$  dintre direcțiile lor normale:

${\displaystyle \cos \alpha ={\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$ 

• Dreaptă
• Curbă
• Coplanaritate
• Graf planar
• Proiecție cartografică
• Planul complex
• Spațiu plan