Teorema lui van Aubel

Există două teoreme van Aubel:

• una care descrie relația dintre centrele pătratelor construite pe laturile unui patrulater convex, teoremă publicată de Henricus Hubertus van Aubel în 1878.^[1]
• una care descrie relația dintre anumite segmente determinate de cevienele concurente într-un triunghi.

Pe laturile unui patrulater  ${\displaystyle ABCD}$  se construiesc în exterior pătratele de centre  ${\displaystyle P,Q,R,S.}$ 

Atunci segmentele  ${\displaystyle [PR],[QS]}$  sunt ortogonale și au aceeași lungime.

Există mai multe demonstrații:

• o demonstrație bazată pe utilizarea numerelor complexe și scrierea afixelor punctelor  ${\displaystyle A,B,C,D}$  și  ${\displaystyle P,Q,R,S;}$
• o demonstrație bazată pe rotații ale vectorilor;
• o demonstrație bazată pe teorema lui Neuberg și pe faptul că punctele Q și S sunt imaginile punctelor Q și R printr-o rotație de centru situat în mijlocul segmentului [BD] și de unghi drept.

Ca o completare, teorema lui Thébault susține că  ${\displaystyle ABCD}$  este paralelogram dacă și numai dacă  ${\displaystyle PQRS}$  este pătrat.

Într-un triunghi  ${\displaystyle ABC}$  se consideră cevienele  ${\displaystyle AA',BB',CC'}$  concurente în P, cu  ${\displaystyle A'\in BC,\;B'\in CA,\;C'\in AB.}$ 

Atunci:

${\displaystyle {\frac {PA}{PA'}}={\frac {B'A}{B'C}}+{\frac {C'A}{C'B}}.}$

Se scriu raporturi de arii:

${\displaystyle {\frac {PA}{PA'}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}+{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PA'B}+{\mathcal {A}}_{PA'C}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}+{\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}}$

${\displaystyle {\frac {B'A}{B'C}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{B'AB}-{\mathcal {A}}_{B'AP}}{{\mathcal {A}}_{B'CB}-{\mathcal {A}}_{B'CP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAB}}{{\mathcal {A}}_{PBC}}}}$

${\displaystyle {\frac {C'A}{C'B}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{C'AC}-{\mathcal {A}}_{C'AP}}{{\mathcal {A}}_{C'BC}-{\mathcal {A}}_{C'BP}}}={\frac {{\mathcal {A}}_{PAC}}{{\mathcal {A}}_{PCB}}}}$

O altă demonstrație se bazează pe utilizarea coordonatelor baricentrice:

${\displaystyle {\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}=-{\frac {b+c}{a}}\quad {\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}=-{\frac {c}{a}}\quad {\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}=-{\frac {b}{a}},}$

ceea ce conduce la egalitatea:

${\displaystyle {\frac {\overline {PA}}{\overline {PA'}}}={\frac {\overline {C'A}}{\overline {C'B}}}+{\frac {\overline {B'A}}{\overline {B'C}}}}$

Portal Matematică

• en Henricus Hubertus van Aubel la Genealogie Online.nl

Acest articol referitor la geometrie este deocamdată un ciot. Puteți ajuta wikipedia prin completarea sa!