Regula de aur a acumulării

Regula de aur a acumulării a lui Edmund S. Phelps indică faptul că consumul pe cap de locuitor se maximizează atunci când rata dobânzii este egală cu rata de creștere a produsului intern brut. Regula de aur a acumulării este criticată pentru faptul că nu ia în considerare preferințele temporale (în mod diferit față de regula Ramsey).

Cu ajutorul regulii de aur, rata obținută a dobânzii ar putea fi utilizată ca „o rată reală constantă a dobânzii“ în cadrul regulii lui Taylor pentru determinarea ratei dobânzii a lui Taylor.

Creșterea stocului de capital ${\displaystyle {\dot {K}}}$ este egală cu investițiile ${\displaystyle I}$, care sunt finanțate prin economisiri ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle {\dot {K}}=I=S}$

Cota de economii ${\displaystyle s={\frac {S}{Y}}={\frac {\dot {K}}{Y}}}$

Funcția de consum: ${\displaystyle C=(1-s)\cdot Y+N}$

Intensitatea capitalului ${\displaystyle k={\frac {K}{A}}}$

Producția pe cap de locuitor: ${\displaystyle y={\frac {Y}{A}}}$

Funcția de producție: ${\displaystyle Y=F(K,A)}$

Funcția de producție linear-homogenă:

${\displaystyle const.\cdot Y=F(const.\cdot K,const.\cdot A)}$

${\displaystyle const.={\frac {1}{A}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{A}}\cdot Y=F({\frac {1}{A}}\cdot K,{\frac {1}{A}}\cdot A)}$

deci, funcția de producție poate fi exprimată și prin mărimi pe cap de locuitor. Producția unui anumit muncitor depinde de resursele de capital ale acelui muncitor (intensitatea capitalului):

${\displaystyle {\mbox{y = F(k,1)=f(k)}}}$

Rata de creștere a populației/ocupației ${\displaystyle A}$ este dată exogen:

${\displaystyle {{\dot {A}} \over A}={\hat {A}}=m}$

Rata de creștere Steady-State, toate mărimile trebuie să crească cu aceeași rată:

${\displaystyle {{\dot {Y}} \over Y}={{\dot {A}} \over A}={{\dot {K}} \over K}=m}$

${\displaystyle {{\dot {K}} \over K}={\hat {K}}=s\cdot {\frac {Y}{K}}=s\cdot {\frac {y}{k}}=m}$

${\displaystyle s\cdot {\frac {y}{k}}=s\cdot {\frac {f(k)}{k}}=m}$

${\displaystyle s\cdot f(k)=m\cdot k}$

Pentru ce rată de creștere Steady-State este maximizat consumul pe cap de locuitor ${\displaystyle {\frac {C}{A}}}$?

${\displaystyle {\frac {C}{A}}=(1-s){\frac {Y}{A}}=(1-s)y=(1-s)f(k)}$

În conformitate cu Steady State e valabil:

${\displaystyle s\cdot f(k)=m\cdot k}$

Deci:

${\displaystyle {\frac {C}{A}}=f(k)-m\cdot k}$

Maximizarea consumului pe cap de locuitor în ceea ce privește variabila ${\displaystyle k}$, înseamnă derivarea în funcție de ${\displaystyle k}$ și egalarea cu zero:

${\displaystyle f^{\prime }(k)-m=0}$

Productivitatea marginală a capitalului ${\displaystyle f^{\prime }(k)}$ trebuie deci să fie egală cu rata de creștere ${\displaystyle m}$. În teoria neoclasică se presupune că productivitatea marginală a capitalului este egală cu prețul investiției inițiale, deci egală cu rata profitului, respectiv cu rata dobânzii.

Productivitatea marginală a capitalului ca derivată parțială a lui ${\displaystyle F(K,A)}$ în funcție de ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle {\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}}$

Omogenitate lineară:

${\displaystyle F(K,A)=A\cdot F({\frac {K}{A}},1)=A\cdot f(k)}$

Calcul parțial (utilizând derivarea prin părți):

${\displaystyle {\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta K}}={\frac {\delta F({\frac {K}{A}},1)}{\delta {\frac {K}{A}}}}\cdot {\frac {\delta {\frac {K}{A}}}{\delta K}}}$

${\displaystyle =f^{\prime }(k){1 \over A}}$

În total:

${\displaystyle {\frac {\delta F(K,A)}{\delta K}}=f^{\prime }(k)}$