Ecuația lui Pell

Acest articol sau secțiune are mai multe probleme. Puteți să contribuiți la rezolvarea lor sau să le comentați pe pagina de discuție. Pentru ajutor, consultați pagina de îndrumări. Nu are introducere cu explicația scurtă a subiectului sau introducerea existentă este prea scurtă. Marcat din mai 2013. Are nevoie de ajutorul dumneavoastră! Marcat din mai 2013. Trebuie pus(ă) în formatul standard. Marcat din mai 2013. Îi lipsesc notele de subsol. Marcat din mai 2013.  Nu ștergeți etichetele înainte de rezolvarea problemelor.

John Pell-matematician englez-a trăit între anii 1610 și 1685. Ca lucrare mai importantă a sa cităm ”Controverse asupra adevăratei măsuri a cercului ( apărută la Amsterdam în 1647) , în care el aduce câteva contribuții notabile la dezvoltarea trigonometriei.

Care este istoria acestei ”Ecuații Pell?”

Cunoscutul matematician francez Pierre Fermat (1601-1665) pune unui prieten al său , Frenicle de Bessy (1602-1675) următoarea problemă:” Dacă a este un număr întreg care nu este pătrat perfect, există soluții întregi (x,y) ale ecuației ax² +1= y²  ? ” ( Fermat, 1657). Cum Frenicle nu reușește s-o rezolve, Fermat răspândește o ”circulară” cu această problemă, aducând-o astfel la cunoștința lumii matematice a vremii sale.

Doi matematicieni britanici- lordul W. Brouncker (1620-1684) președinte al Societății Regale de Științe (Royal Society- Academia de Științe a Marii Britanii ) și nu mai puțin celebrul John Wallis ( 1616-1703) rezolvă independent problema lui Fermat. Soluția a apărut publicată în 1658.

Fermat afirmase-fără să demonstreze-că ecuația are soluții. Wieleitner [ 39 p.76] menționează că vechii greci au rezolvat unele cazuri particulare și că indienii au dat ” o soluție genială”, dar fără justificarea teoretică necesară.

Lucrurile păreau uitate, până când marele Euler, aproape opt decenii mai târziu, a început să se preocupe de ecuațiile diofantice, fiindcă putem considera ecuația lui Fermat drept diofantică de ordinul II. Euler arată ( în 1732) procedeul de deducere al unei infinități de soluții întregi ale ecuației ax2 +bx+c= y2 ( deci ecuația Fermat se obține pentru b=0 și c=1) dacă se cunoaște o soluție a sa.

Ceva mai târziu, Lagrange ( în 1769) tratează cazul general:

ax² +bxy+cy² +dx+ey+f = 0 și analizează soluția dată de Wallis pentru cazul b=0, c=-1, d=0, e=0, f=1, adică tocmai pentru ecuația propusă de Fermat.

În mod curios, în lucrările sale, Euler numește ecuația ax² +1= y² drept ”ecuație a lui Pell” și datorită autorității sale de necontestat, de-atunci încolo, ecuația propusă de Fermat a primit numele lui Pell-deși în lucrările acestuia din urmă nu apare în nicio pagină vreo referire la o astfel de problemă

Desigur, Euler a fost probabil victima unei confuzii. Cert este că literatura matematică a preluat și perpetuat peste veacuri numele lui Pell.

1. Wieleitner, H. (1964): Istoria matematicii de la Descartes până la mijlocul secolului al XIX-lea, Editura Științifică, București.

2. Viorel Gh. Vodă (1987) : ” Miraculoasele ecuații” , Editura Albatros, București