União (matemática)

Pela teoria básica de conjuntos, define-se ${\displaystyle A\cup B\,}$  por:^[1]

${\displaystyle A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}\,}$ 

Por exemplo:

1. Se A = {1, 2, 3} e B = {4 ,5}, então ${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,}$ 
2. Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 4, 5}, então ${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5\}\,}$ . Note que os elementos do conjunto não são repetidos.

Pelos axiomas de Zermelo-Fraenkel, a definição acima não é válida. A definição de união é um pouco mais complicada que a definição de interseção, porque devemos, primeiro, construir um conjunto maior que A e B, antes de usar o axioma da separação.

Este conjunto existe, combinando o axioma do par com o axioma da união:

${\displaystyle \forall A\forall B\exists F(A\in F\land B\in F)}$  (Axioma do par)

${\displaystyle \forall F\exists C\forall y\forall x(x\in y\land y\in F\rightarrow x\in C)}$  (Axioma da união)

Aplicando a segunda proposição ao conjunto F da primeira, temos que:

${\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall x((x\in A\lor x\in B)\rightarrow x\in C)}$ 

Finalmente, aplicando o axioma da separação com a fórmula ${\displaystyle \Phi =(x\in A\lor x\in B)\,}$  para o conjunto C, obtemos uma união de A e B.

${\displaystyle \forall A\forall B\exists D\forall x(x\in D\iff (x\in A\lor x\in B))}$ 

O axioma da extensão garante que a união é única.

Em outras palavras, provou-se que

${\displaystyle \forall A\forall B\exists !(A\cup B)\forall x(x\in (A\cup B)\iff (x\in A\lor x\in B))}$ 

Dado um conjunto ${\displaystyle S}$  e um conjunto de índices ${\displaystyle \Lambda }$ . Se para todo ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$  tem-se que ${\displaystyle A_{\lambda }\subset S}$ , diz-se que ${\displaystyle \left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }:=\{X\in \wp (S);\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,X=A_{\lambda }\}}$  é uma família de partes de ${\displaystyle S}$ , onde ${\displaystyle \wp (S)}$  é o conjunto das partes de ${\displaystyle S}$ .

A união dos elementos da família ${\displaystyle \left(A_{\lambda }\right)_{\lambda \in \Lambda }}$  é o conjunto:

${\displaystyle {\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }:=\{x\in S;\,\exists \lambda \in \Lambda ,\,A_{\lambda }\ni x\}}}$ .

Se existir uma bijeção ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \Lambda }$ , então pode-se denotar tal união por

${\displaystyle {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}}$ ,

onde ${\displaystyle B_{i}:=A_{\sigma (i)}}$  para todo ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ , e diz-se que tal união é uma união enumerável.

Se ${\displaystyle \Lambda }$  for finito e ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$  forem seus elementos, então pode-se denotar tal união por

${\displaystyle {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}B_{i}}}$ ,

onde ${\displaystyle B_{i}:=A_{\lambda _{i}}}$ e diz-se que tal união é uma união finita.

Uma união arbitrária é uma união onde não se sabe, a priori, a cardinalidade do conjunto de índices. Tais definições são importantes na topologia, em que por exemplo, a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado e a união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Se A={1,3,4} e B={2,3}, então A U B={1,2,3,4}

Se A={10,30,400} e B={20,30}, então A U B={10,20,30,400}

Se A={1,3,9} e B={1,5,9},então A ${\displaystyle \cap }$  B = {1,9}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então A - B= {1,2}

Se A={1,2,3,4,5} e B={3,4,5,6}, então B - A= {6}

Uma característica é que somente é possível utilizar este operador caso as tabelas de origem possuam compatibilidade de união, ou seja, as tabelas devem ser equivalentes e gerarem o mesmo tipo de resultado. A união permite realizar a operação entre duas tabelas contendo atributos diferentes, quando esta possuir o número e o tipo de atributos semelhantes, possibilitando a compatibilidade da união.

Consequência imediata da definição de que a união é um comutativo, podemos representar em símbolos:

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ 

A união é também uma adesão:

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$ 

Quando utilizamos o operador união em dois conjuntos, elimina a duplicidade automaticamente:
A = (A,B,C,R) B = (B,D,R,K) AUB=(A,B,C,R,D,K).

Considerando dois conjuntos finitos, A = {1; 2; 3} e B = {2; 3; 4}. A união é obtida considerando todos os elementos pertencentes a pelo menos um dos dois conjuntos:

${\displaystyle A\cup B=\{1;2;3;4\}}$ 

No mundo real podemos representar duas tabelas:

Suponhamos que precisamos de uma tabela com os trens que passam em Bolonha (partem e chegam), o comando SQL mais adequado é o seguinte:

SELECT hora, trem
FROM chegada
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

UNION

SELECT hora, trem
FROM partida
WHERE estacao LIKE "Bologna%"

Que produzirá o seguinte resultado: