Uniad set

Uniad set

${\displaystyle ~A\cup B}$
Enghraifft o'r canlynol	gweithredydd y set, gweithredydd ddeuaidd, uniad sawl set
Math	cyswllt
Y gwrthwyneb	croestoriad setiau
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

O fewn damcaniaeth setiau, uniad (wedi'i ddynodi gan ∪) casgliad o setiau yw'r set o holl elfennau'r casgliad.^[1] Mae'n un o'r gweithrediadau sylfaenol lle gellir cyfuno setiau a'u cysylltu â'i gilydd. Mae uniad nwl (nullary union) yn cyfeirio at undiad o sero (${\displaystyle 0}$) setiau a thrwy ddiffiniad mae'n hafal i'r set wag.

Uniad dwy set A a B yw'r set o elfennau sydd yn A, yn B, neu yn A a B.^[2] Felly,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\in A{\text{ or }}x\in B\}}$.^[3]

Er enghraifft, os yw A = {1, 3, 5, 7} a B = {1, 2, 4, 6, 7} yna A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Enghraifft fwy cywrain (sy'n cynnwys dwy set anfeidraidd) yw:

Mae A = { x yn gyfanrif sy'n eilrif ac yn fwy nag 1}

Mae B = { x yn gyfanrif sy'n odrif ac sy'n fwy nag 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}}$

Fel enghraifft arall, nid yw'r rhif 9 wedi'i gynnwys yn undiad y set o rifau cysefin {2, 3, 5, 7, 11, ...} a'r set o eilrifau {2, 4, 6, 8, 10, ...}, oherwydd nid yw 9 yn gysefin nac yn eilrif.

Ni all setiau fod ag elfennau dyblyg,^[3]Vereshchagin, Nikolai Konstantinovich; Shen, Alexander (2002-01-01). Basic Set Theory. American Mathematical Soc. ISBN 9780821827314.</ref>^[4] felly uniad y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw {1, 2, 3, 4}. Nid yw digwyddiadau lluosog o elfennau union yr un fath yn cael unrhyw effaith ar gardinaldeb (brifolrwydd) set na'i chynnwys.

Mae uniad deuaidd yn weithrediad cysylltiol; hynny yw, ar gyfer unrhyw setiau ${\displaystyle A,B,{\text{ ac }}C,}$$${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$$Felly, gellir hepgor y cromfachau heb unrhyw amwysedd: gellir ysgrifennu un o'r ddau uchod fel ${\displaystyle A\cup B\cup C.}$ Hefyd, mae undiad yn gymudol, felly gellir ysgrifennu'r setiau mewn unrhyw drefn.^[5] Mae'r set wag yn elfen unfathiant (identity element) ar gyfer gweithrediad uniad. Hynny yw, ${\displaystyle A\cup \varnothing =A,}$ ar gyfer unrhyw set ${\displaystyle A.}$ Hefyd, mae gweithrediad yr undeb yn ddelfrydol: ${\displaystyle A\cup A=A.}$

Mae croestoriad yn dosbarthu dros uniad$${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ac mae uniad yn dosbarthu dros groestoriad ^[2]$${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}$$Mae set bŵer set ${\displaystyle U,}$ ynghyd â'r gweithrediadau a roddir gan undeb, croestoriad, a chyflenwad (complementation), yn algebra Boole. Yma, gellir mynegi undiad o ran croestoriad a chyflenwad gan y fformiwla$${\displaystyle A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\right)^{\text{c}},}$$lle mae'r uwchysgrif ${\displaystyle {}^{\text{c}}}$ yn dynodi'r cyflenwad yn y set gyffredinol ${\displaystyle U.}$

• Undeb Anfeidrol a Chroesffordd yn neddfau ProvenMath De Morgan a brofwyd yn ffurfiol o axiomau theori set.