Teste de Friedman

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O teste de Friedman é um teste estatístico não-paramétrico desenvolvido por Milton Friedman.^[1][2][3] Semelhante ao ANOVA, é utilizado para detectar diferenças nos tratamentos em várias experimentos de teste. O procedimento envolve a classificação de cada linha (ou bloco), então considerando os valores dos postos de colunas. É um caso especial do teste de Durbin.

Exemplos clássicos de utilização são:

• n sommeliers classificam k diferentes vinhos. São quaisquer um dos k vinhos classificados consistentemente maiores ou menores do que os outros?
• n soldadores usam k tochas de soldagem, e o que se seguiu soldas foram classificados em termos de qualidade. Fazer o k tochas produzir consistentemente melhor ou pior soldas?

O teste de Friedman é usado para medidas repetidas de análise unidirecional de variância dos postos. Seu uso de postos é semelhante ao do teste de Kruskal-Wallis por postos.

O teste de Friedman é amplamente suportado por muitos lista de softwares estatísticos.

1. Sejam os dados ${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$, isto é, uma matriz com ${\displaystyle n}$ linhas (os blocos), ${\displaystyle k}$ colunas (os tratamentos) e uma única observação na intersecção de cada bloco e tratamento, calcule os postos dentro de cada bloco. Se existem valores repetidos, determine seus postos a média dos postos que teriam sido atribuídos sem a repetição. Substitua os dados com uma nova matriz ${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$ onde a entrada ${\displaystyle r_{ij}}$ é o posto de ${\displaystyle x_{ij}}$ dentro do bloco ${\displaystyle i}$.
2. Ache os valores:
   • ${\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
   • ${\displaystyle {\bar {r}}={\frac {1}{nk}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}r_{ij}}$
   • ${\displaystyle SS_{t}=n\sum _{j=1}^{k}({\bar {r}}_{\cdot j}-{\bar {r}})^{2}}$,
   • ${\displaystyle SS_{e}={\frac {1}{n(k-1)}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}(r_{ij}-{\bar {r}})^{2}}$
3. A estatística de teste é dada por ${\displaystyle Q={\frac {SS_{t}}{SS_{e}}}}$. Note que o valor de Q como computado acima não precisa ser ajustado para valores repetidos nos dados.
4. Finalmente, quando n ou k é grande (i.e. n>15 ou k>4), a distribuição de probabilidade de Q pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado. Nesse caso, o p-valor é dado por ${\displaystyle \mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)}$. Se n ou k é pequeno, a aproximação para qui-quadrado se torna pobre e o p-valor deverá ser obtido de tabelas de Q especialmente preparadas para o teste de Friedman. Se o p-valor é significante, testes de comparações múltiplas post hoc poderão ser feitos.

• Quando estiver utilizando este tipo de projeto para uma resposta binária, ao invés desse teste, use teste Q de Cochran.
• Kendall W é uma normalização da estatística de Friedman está entre 0 e 1.
• O teste de Wilcoxon é um teste não paramétrico de dados dependentes de duas populações.
• O teste de Skillings–Mack é uma estatística geral do tipo de Friedman que pode ser usada em praticamente qualquer projeto de blocos com uma estrutura arbitrária de falta de daos.

Testes Post-hoc foram propostos por Schaich e Hamerle (1984),^[4] bem como Conover (1971, 1980),^[5]  a fim de decidir quais grupos são significativamente diferentes uns dos outros, com base na média das diferenças de postos dos grupos. Estes procedimentos estão detalhados em Bortz, Lienert e Boehnke (2000, p. 275).^[6]

Nem todos os pacotes estatísticos suportam a análise post hoc para o teste de Friedman, mas códigos oriundos de contribuição de usuários existem e povêm essas facilidades (por exemplo, no SPSS e em R).^[7][8]