Par de Ruth-Aaron

En matemática, um par de Ruth-Aaron refere-se a um par de números naturais consecutivos para os quais a soma dos fatores primos de um é igual à soma dos fatores primos do outro.

Estes pares de números recebem o seu nome em homenagem ao beisebolista Hank Aaron, que em 8 de abril de 1974 fez o seu home run número 715, batendo a marca anterior de Babe Ruth de 714. Os matemáticos Carol Nelson, David Penney e Carl Pomerance, da Universidade da Geórgia, observaram que:

714 = 2 × 3 × 7 × 17,

715 = 5 × 11 × 13,

e

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.

Intrigados por esta propriedade estudaram outros pares de números consecutivos que cumpriam a mesma propriedade e publicaram os achados no Journal of Recreational Mathematics, tendo elaborado uma conjetura sobre a dispersão assintótica destes pares, que designaram pares de Aaron. Pouco após a publicação, Paul Erdős afirmou poder demonstrar a conjetura e escreveu um artigo conjunto com Pomerance.^[1]

Se considerarmos somente os fatores primos distintos, os primeiros pares são:

(5,6),(24,25),(49,50),(77,78),(104,105),(153,154),(369,370),(492,493),(714,715),....

Se contarmos fatores primos repetidos (por exemplo,8=2x2x2 e 9=3x3;2+2+2=3+3=6) os primeiros pares são:

(5,6),(8,9),(15,16),(77,78),(125,126),(714,715),....

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