Logaritmo de Zech

O logaritmo de Zech foi nomeado por Julius August Christoph Zech e é utilizado para implementar um corpo finito cujos elementos são representados por ${\displaystyle \alpha }$.^[1]

Se ${\displaystyle \alpha }$ é um elemento primitivo de um campo finito, então o logaritmo de Zech em relação à base ${\displaystyle \alpha }$ é definida pela equação:

${\displaystyle Z_{\alpha }(n)=\log _{\alpha }(1+\alpha ^{n}),}$

ou, de maneira equivalente, a:

${\displaystyle \alpha ^{Z_{\alpha }(n)}=1+\alpha ^{n}.}$

Para ser mais preciso, ${\displaystyle Z_{\alpha }}$ é uma função de módulos inteiros ordenados pelo multiplicativo ${\displaystyle \alpha }$, e obtém valores do mesmo conjunto. A fim de descrever cada elemento, é conveniente adicionar formalmente um novo símbolo ${\displaystyle -\infty }$, juntamente com as definições:

${\displaystyle \alpha ^{-\infty }=0}$

${\displaystyle n+(-\infty )=-\infty }$

${\displaystyle Z_{\alpha }(-\infty )=0}$

${\displaystyle Z_{\alpha }(e)=-\infty }$

em que e é um número inteiro que satisfaça ${\displaystyle \alpha ^{e}=-1}$, o qual mostra que e = 0 para um campo de características 2, e ${\displaystyle e={\frac {q-1}{2}}}$ para um campo finito de características ímpares com q elementos.

Usando o logaritmo Zech, um campo finito aritmético pode ser expresso na representação exponencial:

${\displaystyle \alpha ^{m}+\alpha ^{n}=\alpha ^{m}\cdot (1+\alpha ^{n-m})=\alpha ^{m}\cdot \alpha ^{Z(n-m)}=\alpha ^{m+Z(n-m)}}$

${\displaystyle -\alpha ^{n}=(-1)\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{e}\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{e+n}}$

${\displaystyle \alpha ^{m}-\alpha ^{n}=\alpha ^{m}+(-\alpha ^{n})=\alpha ^{m+Z(e+n-m)}}$

${\displaystyle \alpha ^{m}\cdot \alpha ^{n}=\alpha ^{m+n}}$

${\displaystyle \left(\alpha ^{m}\right)^{-1}=\alpha ^{-m}}$

${\displaystyle \alpha ^{m}/\alpha ^{n}=\alpha ^{m}\cdot \left(\alpha ^{n}\right)^{-1}=\alpha ^{m-n}}$