Assortatividade

Ciência da Rede
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Na área de grafos e ciência das redes, assortatividade é uma métrica utilizada para quantificar a tendência de nós individuais se conectarem a outros nós semelhantes um grafo (homofilia). Além disso, é capaz de definir o comportamento dinâmico de uma rede, bem como a sua robustez, analisando o seu grau de assortatividade. ^[1]

É possível analisar a correlação dos graus de uma rede analisando, por exemplo, uma rede social. Nesta é possível visualizar que os nós tendem a se conectar a outros nós com graus semelhantes, ou seja, características semelhantes. Esta característica é conhecida como assortatividade. Por outro lado, quando nós de alto grau se conectam com nós de baixo grau, dizemos que esta rede é dissassortativa. Por fim, caso a rede não apresente uma tendência clara de conexão, ela apresenta a característica não-assortativa. ^[2]

A assortatividade de uma rede é comumente computado por meio da correlação entre nós. Existem diversas formas de se calcular esta correlação, entretanto a mais utilizada é o coeficiente de correlação de graus.

O coeficiente de correlação de graus é um número que é quantificado pelo coeficiente de correlação de Pearson, r, que caracteriza a correlação de ambos os nós das extremidade de uma aresta. ^[3] Este valor varia entre o intervalo [-1 ≤ r ≤ 1] e apresenta as seguintes características: Se r = 0, a rede é não-assortativa (neutra); Se r < 0, então a rede é dissassortativa; e se r > 0, então a rede é assortativa. Além disso, quando o valor de r se encontra nos limites do intervalo, diz-se então que a rede é perfeitamente assortativa (r = 1) ou completamente disassortativa (r = -1).

O valor de r, definido por Mark Newman ^[4], pode ser calculado a partir da seguinte expressão:

${\displaystyle r={\frac {\sum _{jk}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma ^{2}}}}$ (1),

onde

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-{\bigg [}\sum _{k}kq_{k}{\bigg ]}^{2}}$ e

${\displaystyle q_{k}={\frac {kp_{k}}{\langle k\rangle }}}$, sabendo que ${\displaystyle \langle k\rangle }$ é o valor médio de ${\displaystyle k}$.

Da expressão (1), pode-se observar que ${\displaystyle q_{k}}$ é a probabilidade de se obter um nó de grau ${\displaystyle k}$ no fim de uma aresta selecionada aleatoriamente. Por fim, ${\displaystyle e_{jk}}$ é a matriz de correlação de graus ou a probabilidade de se encontrar um nó de grau ${\displaystyle j}$ que possui um nó de grau ${\displaystyle k}$ no fim de suas arestas. Como se trata de uma probabilidade, temos ${\displaystyle \sum _{j,k}e_{jk}=1}$ que pode se conectar a ${\displaystyle q_{k}}$ por meio de ${\displaystyle \sum _{j}e_{jk}=q_{k}}$. ^[5]

Existe ainda uma outra maneira de se quantificar a correlação de graus de uma rede: a função de correlação de graus. Esta função calcula a correlação de graus para todos os nós de grau ${\displaystyle k}$ existentes. Para isto, uma maneira de de quantificar a magnitude dos nós que se conectam entre si, é explorar o grau médio dos vizinhos de um nó ${\displaystyle i}$ com grau ${\displaystyle k}$, em outras palavras, calcular o valor de ${\displaystyle k_{nn}}$, definido por:

${\displaystyle k_{nn}(k)=\sum _{k'}k'P(k'|k)}$,

onde ${\displaystyle P(k'|k)}$ é a probabilidade condicional em que uma aresta de um nó de grau ${\displaystyle k}$ alcance um nó de grau ${\displaystyle k'}$. Consequentemente, caso o valor da função cresça de acordo com o ${\displaystyle k}$, então a rede é assortativa. Por outro lado, se o valor da função diminui de acordo com o valor de ${\displaystyle k}$, então a rede é disassortativa. Por fim, pode-se concluir que, se a função não apresenta os comportamentos anteriores, então a rede é neutra.

Redes neutras possuem uma característica especial em relação ao valor de ${\displaystyle k_{nn}}$. Como o grau médio dos vizinhos de um nó independe de seu grau (aproximadamente igual para todo valor de k), pode ser calculado por meio da média global. Com isso, temos que:

${\displaystyle P(k'|k)={\frac {e_{kk'}}{\sum _{k'}e_{kk'}}}={\frac {e_{kk'}}{q_{k}}}={\frac {q_{k'}q_{k}}{q_{k}}}=q_{k'}}$.

Substituindo em ${\displaystyle k_{nn}}$, pode-se observar que:

${\displaystyle k_{nn}(k)=\sum _{k'}k'_{q_{k'}}=\sum _{k'}k'{\frac {k'p(k')}{\langle k\rangle }}={\frac {\langle k^{2}\rangle }{\langle k\rangle }}\ }$,

onde "<>" indica média.

Existem diversas aplicações para o uso da assortatividade de uma rede. A medicina é uma das áreas que mais explora este conceito, visto que auxilia a entender o comportamento de uma população e como uma determinada patologia pode se espalhar nesta comunidade. Junto a isso, pode-se inferir como aplicar de forma efetiva um sistema de vacinação conforme os hábitos destes grupos. Ainda assim, pode-se observar outras áreas que abordam o conceito, o aplicando em, por exemplo, sistema de rede elétrica (quais os pontos demandam mais energia elétrica), redes colaborativas (identificação de pontos que precisam de reforço) e rede de sistemas metabólicos (qual é o efeito de um determinado fármaco no corpo).