Característica de Euler

Em matemática, e mais especificamente na topologia algébrica , a característica de Euler (ou característica de Euler–Poincaré) é um invariante topológico, um número que descreve a forma ou a estrutura de um espaço topológico independentemente da forma como ela é dobrada. Este invariante foi descoberto por Leonhard Euler e demonstrada em geral por Henri Poincaré e costuma ser denotado por ${\displaystyle \chi }$ (a letra grega Chi).

A característica de Euler foi definida originalmente para poliedros, tendo sido utilizada para demonstrar vários teoremas sobre eles, incluindo a classificação dos sólidos platônicos. Leonhard Euler, matemático cujo nome é atribuído ao conceito, foi responsável por grande parte deste trabalho inicial.^[1] Na matemática moderna, a característica de Euler surge a partir da homologia e está relacionada a vários outros invariantes.^[2]

A característica de Euler de um complexo simplicial ${\displaystyle M\,}$ é dada por

${\displaystyle \chi (M)=n_{0}-n_{1}+n_{2}-n_{3}+\cdots }$

onde ${\displaystyle n_{k}\,}$ é o número de células de dimensão ${\displaystyle k\,}$.

A característica de Euler de uma superfície ${\displaystyle S\,}$ é dada por ${\displaystyle \chi (S)=V-A+F\,}$, onde ${\displaystyle V,A\,}$ e ${\displaystyle F\,}$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de ${\displaystyle S\,}$. Em particular a característica de Euler:^[3]

• da esfera é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{2})=2}$
• do plano projectivo é ${\displaystyle \chi (\mathbb {P} ^{2})=1}$
• do disco é ${\displaystyle \chi (\mathbb {D} ^{2})=1}$
• do toro é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1})=0}$
• do anel é ${\displaystyle \chi (\mathbb {S} ^{1}\times I)=0}$
• da garrafa de Klein é ${\displaystyle \chi (\mathbb {K} )=0}$
• da fita de Möbius é ${\displaystyle \chi (\mathbb {M} )=0}$

e em geral ${\displaystyle \chi (S)=2-2g\,}$, onde ${\displaystyle g\,}$ é o género de ${\displaystyle S\,}$, quando orientável e compacta.

A fórmula de Euler para poliedros convexos é V + F = A + 2, e a característica de Euler generaliza esta expressão para qualquer número de dimensões e para polítopos que não são, topologicamente, equivalentes à esfera (ou hiperesfera).^[1][2]

Name	Image	Vértices V	Arestas A	Faces F	Característica de Euler: V − A + F
Tetraedro		4	6	4	2
Hexaedro ou cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Pela dualidade de Poincaré, a característica de Euler de uma variedade fechada e compacta de dimensão ímpar é nula.