Cone

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 Nota: Para outros significados, veja Cone (desambiguação).

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

Os cones podem ser divididos em:

• Reto;
• Oblíquo;
• Equilátero.

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

O volume, ${\textstyle V}$, de um cone de altura, ${\textstyle h}$, e base com raio, ${\textstyle r}$, é ${\textstyle 1/3}$ do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a ${\textstyle 1/4}$ da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone ${\textstyle A}$ é dada por:

${\displaystyle A=\pi r(r+g)}$

onde, ${\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, ${\textstyle \pi r^{2}}$ é a área da base, enquanto que o segundo termo ${\textstyle \pi rg}$ é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

_{${\displaystyle A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}}$}

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura ${\textstyle h}$ e raio ${\textstyle r}$ corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

${\displaystyle y={\frac {r}{h}}x}$

em torno do eixo ${\textstyle x}$.

Volume

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

${\displaystyle A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}}$

Para um deslocamento infinitesimal ${\textstyle dx}$ tem-se o incremento de volume:

${\displaystyle dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx}$

Então, integrando de ${\textstyle 0}$ a ${\textstyle h}$ obtemos o volume do cone:

${\displaystyle \int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}$

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

${\displaystyle A_{b}=\pi r^{2}}$

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal ${\textstyle dx}$ corresponde a um deslocamento de comprimento de linha ${\textstyle dL}$ sobre a reta ${\textstyle y={\frac {r}{h}}x}$. Pelo Teorema de Pitágoras temos que ${\displaystyle (dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}}$, ou seja:

${\displaystyle dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx}$

Considerando a rotação do segmento ${\textstyle dL}$ em torno do eixo ${\textstyle x}$, temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

${\displaystyle dA_{l}=2\pi y\,dL}$

Substituindo ${\textstyle y}$ e ${\textstyle dL}$ em função de ${\textstyle x}$ e ${\textstyle dx}$, obtemos:

${\displaystyle dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx}$

Integrando de ${\textstyle 0}$ a ${\textstyle h}$, temos:

${\displaystyle \int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

${\displaystyle A=\pi r(g+r)}$

onde, ${\displaystyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$.

A área da base do cone é:

${\displaystyle A_{b}=\pi r^{2}}$

Pelo Teorema de Pitágoras temos que ${\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}}$, logo ${\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}}$, assim:

${\displaystyle h=r{\sqrt {3}}}$

Como o volume do cone é obtido por ${\textstyle 1/3}$ do produto da área da base pela altura, temos:

${\displaystyle V={\frac {\pi r^{3}{\sqrt {3}}}{3}}}$

Similarmente, a área lateral é dada por:

${\displaystyle A_{l}=\pi \cdot r\cdot g=\pi \cdot r\cdot 2r=2\cdot \pi \cdot r^{2}}$

e, a área total por:

${\displaystyle A=3\pi r^{2}}$

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• Espiral

• (em inglês) Volume de um cone truncado elíptica

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