Teorema ëd Hahn-Banach

La forma analìtica dël teorema ëd Hahn-Banach a rësguarda lë slongament ëd forme linear.

Consideroma në spassi vetorial E ansima a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e na fonsion ${\displaystyle p:E\to \mathbb {R} }$ ch'a l'abia le propietà:

• p(λx)=λp(x) për minca ${\displaystyle x\in E}$ e minca λ>0;
• ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$.

Ch'a consìdero peui un sot-ëspassi vetorial ${\displaystyle G\subseteq E}$ e na forma linear ${\displaystyle g:G\to \mathbb {R} }$ tal che ${\displaystyle g(x)\leq p(x)}$ për minca ${\displaystyle x\in G}$.
Antlora a esist na forma linear f definìa ansima a E e ch'a slonga g, visadì tal che g(x)=f(x) për minca ${\displaystyle x\in G}$, con la propietà che ${\displaystyle \forall x\in E,f(x)\leq p(x)}$.

La dimostrassion d'ës teorema a deuvra ël lema ëd Zorn.

Ch'as consìdera l'ansem P ëd tute le forme linear h con domini un sot-ëspassi vetorial d'E ch'a slongo g e ch'a l'ha la propietà che, për tuti j'x an sò domini, ${\displaystyle h(x)\leq p(x)}$. An s'ansem definioma na relassion d'órdin an butand ${\displaystyle h_{1}\leq h_{2}}$ si e mach si ${\displaystyle h_{2}}$ a slonga ${\displaystyle h_{1}}$. I l'oma che P a l'é nen veuid, dagià che ${\displaystyle g\in P}$.
Verificoma che P a l'é n'asem andutiv. Për sòn, pijoma na caden-a Q e definioma na fonsion h con domini l'union ëd tuti ij domini dj'element ëd P e con valor h(x)=k(x) për qualsëssìa ${\displaystyle k\in Q}$ ch'a l'abia x an sò domini. Dagià che Q a l'é na caden-a, costa definission a l'ha 'd sust e h a l'é 'n magiorant ëd l'ansem Q. Për ël lema ëd Zorn, ciamoma f n'element massimal ëd P. A basta antlora fé vëdde che ël domini F d'f a l'é tut E.
Si sòn a fussa nen vera, pijoma ${\displaystyle x_{0}\in E-F}$. Consideroma ël sot-ëspassi ${\displaystyle D=F\oplus {\mathcal {L}}(x_{0})}$. I voroma definì na fonsion h con domini D an butand ${\displaystyle h(x+tx_{0})=f(x)+t\alpha }$ për minca x an F e minca nùmer real t. Ma i voroma ëdcò che ${\displaystyle h\in P}$, visadì che

${\displaystyle f(x)+t\alpha \leq p(x+tx_{0})}$

për minca ${\displaystyle x\in F}$ e ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Për sòn a basta avèj le disugualianse

${\displaystyle f(x)+\alpha \leq p(x+x_{0})}$ e

${\displaystyle f(x)-\alpha \leq p(x-x_{0})}$.

Ma antlora a basta serne α an manera che

${\displaystyle \sup _{y\in F}\{f(y)-p(y-x_{0})\}\leq \alpha \leq \inf _{x\in F}\{p(x+x_{0})-f(x)}$,

lòn ch'a l'é possìbil, dagià che për minca ${\displaystyle x,y\in F}$ i l'oma

${\displaystyle f(y)-p(y-x_{0})\leq p(x+x_{0})-f(x)}$

mersì a le relassion

${\displaystyle f(x)+f(y)\leq p(x+y)\leq p(x+x_{0})+p(y-x_{0})}$

ch'an ven-o j'ipòtesi ansima a p.

Ch'as consìdera në spassi vetorial normà E e doi sot-ansem bombà A e B d'E, nen veuid e disgionzù.

Suponoma che A a sia duvert. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens largh, visadì

${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,f(x)\leq \alpha \leq f(y)}$.

Suponoma che A a sia sarà e B a sia compat. Antlora a esist n'iperpian sarà d'equassion f=α, con f continua, ch'a separa A e B an sens ës-ciass, visadì

${\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,f(x)<\alpha <f(y)}$.

Ël teorema ëd Hahn-Banach a l'ha vàire aplicassion, për esempi ël teorema ëd Krein-Milman.