Jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna funkcji na tym przedziale różni się od o stałą: istnieje liczba nazywana stałą całkowania, taka, że dla wszystkich Jeżeli dziedzina jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.
-
jest najogólniejszą funkcją pierwotną funkcji określonej na jej dziedzinie naturalnej
Otóż, funkcja pierwotna funkcji
-
gdzie:
-
Wyrażenie nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną funkcją pierwotną) funkcji podcałkowej czasami zmienną nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania wynika z faktu, że pochodna stałej jest zawsze równa zeru.
Symbol (stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację całkowania, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.
Ponieważ branie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania jej pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące funkcji pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:
- podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
-
- całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):
-
- jeżeli oraz określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji i (addytywność):
-
- jeśli jest liczbą rzeczywistą, to
-
Osobny artykuł: całka funkcji.
Własności i zastosowania
edytuj
Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania całek oznaczonych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że jeżeli jest funkcją pierwotną funkcji a jest ciągła, to
-
Każda funkcja ciągła ma funkcję pierwotną, a jedna z nich, dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji z uzmiennioną górną granicą całkowania:
-
Uzmiennienie dolnej granicy daje inne funkcje pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.
Istnieje wiele funkcji, których funkcje pierwotne nie mogą być wyrażone za pomocą funkcji elementarnych (takich jak wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do trygonometrycznych i ich złożenia). Przykładami mogą być
-
Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.
Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.
Całkowanie przez części
edytuj
Jeśli funkcje i są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:
-
Całkowanie przez podstawienie
edytuj
Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła w przedziale a funkcja ma ciągłą pochodną w przedziale i jest różnowartościowym odwzorowaniem na to:
- wtedy i tylko wtedy, gdy
-
Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając zamiast Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając zamiast
Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:
- jeżeli to
Całkowanie funkcji wymiernych
edytuj
Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci
-
albo postaci
- gdzie
( to liczba naturalna w obu przypadkach).
Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.
Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:
-
W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie
W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:
-
gdzie:
-
-
Całka z funkcji wymiernej to całka postaci
-
gdzie oraz są wielomianami
Rozpatrzmy trzy przypadki
1.
-
Niech
-
-
Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik
2.
-
-
-
-
Mianownik posiada te same pierwiastki co mianownik tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika
-
-
Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość
- aby je obliczyć
3.
-
Niech
-
Całkowanie niektórych innych funkcji
edytuj
Każdą całkę funkcji postaci gdzie jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie[2]:
-
Wówczas
-
-
-
-
-
-
-
Funkcje postaci
-
gdzie daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie
-
skąd
-
Dla funkcji postaci
-
gdzie stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera
-
skąd
-
Natomiast w przypadku
-
stosowane jest drugie podstawienie Eulera
-
skąd
-
- Szymon Charzyński, Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, kanał Khan Academy na YouTube, 31 marca 2015 [dostęp 2024-06-23].
- Paweł Lubowiecki, Całka nieoznaczona cz. I – Funkcja pierwotna, pojęcie całki, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 7 czerwca 2022 [dostęp 2024-09-09].
- Online Integral Calculator, Wolfram Alpha, wolframalpha.com – kalkulator obliczający całki nieoznaczone.