Przedział (matematyka)

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$  będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech ${\displaystyle x,y\in X}$  oraz ${\displaystyle x\leqslant y.}$ 

Przedziałem wyznaczonym przez ${\displaystyle x,y}$  jest jeden z następujących zbiorów:

• ${\displaystyle (x,y):=\{z\in X:x<z<y\}}$  – przedział (obustronnie) otwarty,
• ${\displaystyle [x,y):=\{z\in X:x\leqslant z<y\}}$  – przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
• ${\displaystyle [x,y]:=\{z\in X:x\leqslant z\leqslant y\}}$  – przedział (obustronnie) domknięty,
• ${\displaystyle (x,y]:=\{z\in X:x<z\leqslant y\}}$  – przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

• ${\displaystyle (-\infty ,y):=\{z\in X:z<y\}}$  – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
• ${\displaystyle (-\infty ,y]:=\{z\in X:z\leqslant y\}}$  – przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
• ${\displaystyle (x,+\infty ):=\{z\in X:x<z\}}$  – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
• ${\displaystyle [x,+\infty ):=\{z\in X:x\leqslant z\}}$  – przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym ${\displaystyle (X,\leqslant )}$  istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

• ${\displaystyle (\infty ,\infty ):=\{z\in X\}=X}$  – przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór ${\displaystyle (X,\leqslant ).}$ 
• ${\displaystyle \varnothing }$  – przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np. ${\displaystyle (x,x),\;(x,x],\;[x,x).}$ 

Niektórzy autorzy używają oznaczeń ${\displaystyle (x,y)_{X},}$  ${\displaystyle [x,y]_{X}}$  itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast ${\displaystyle [x,y]}$  stosuje się oznaczenie ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$  i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych^[2]. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno ${\displaystyle (x,y),}$  jak i ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$  do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń ${\displaystyle (x,y],[x,y),(x,y)}$  dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń ${\displaystyle ]x,y],\ [x,y[,\ ]x,y[.}$ 

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

• Przedziały liczbowe:
  • ${\displaystyle (0,1)}$  – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż ${\displaystyle 1,}$ 
  • ${\displaystyle [2,e)}$  – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych ${\displaystyle 2,}$  ale mniejszych niż ${\displaystyle e,}$ 
  • przedział nieskończony ${\displaystyle (\pi ,\infty )}$  złożony z wszystkich liczb większych niż ${\displaystyle \pi ,}$ 
  • ${\displaystyle (0,0),\ (7,7],\ [2,2)}$  – przedziały puste,
  • ${\displaystyle [4,4]}$  – przedział jednopunktowy ${\displaystyle \{4\}.}$ 

• Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: ${\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Z} }}$  jest zbiorem skończonym (jest to ${\displaystyle \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}$ ), ale ${\displaystyle (-5,5)_{\mathbb {Q} }}$  jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział ${\displaystyle (a,b]}$  pomiędzy liczbami rzeczywistymi ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. ${\displaystyle (a,b]_{\mathbb {R} },}$  podobnie dla innych przedziałów.

• Rozważmy płaszczyznę ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$  z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez ${\displaystyle \langle x_{1},y_{1}\rangle <\langle x_{2},y_{2}\rangle \iff x_{1}\leqslant x_{2}}$  i ${\displaystyle y_{1}\leqslant y_{2},}$  gdzie relacja ${\displaystyle \leqslant }$  jest naturalnym porządkiem na prostej ${\displaystyle \mathbb {R} .}$  Wówczas przedział domknięty ${\displaystyle {\big [}\langle 0,0\rangle ,\langle 1,1\rangle {\big ]}_{\mathbb {R} ^{2}}}$  jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w ${\displaystyle \langle 0,0\rangle ,\langle 0,1\rangle ,\langle 1,0\rangle ,\langle 1,1\rangle ,}$  tzn. zbiorem ${\displaystyle \left\{\langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ^{2}:0\leqslant x\leqslant 1\ \land \ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.}$ 

 

 

 

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech ${\displaystyle (X,\leqslant )}$  będzie porządkiem liniowym.

• Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
• Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
• Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
• Otwarte przedziały w ${\displaystyle X}$  tworzą bazę pewnej topologii na ${\displaystyle X}$  – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na ${\displaystyle X}$  albo topologią porządkową na ${\displaystyle X}$ .
• Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na ${\displaystyle \mathbb {R} .}$  Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi^{[potrzebny przypis]}. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.

Przedziały są używane w różnych działach matematyki i innych naukach:

• za pomocą przedziałów i działania sumy zbiorów można opisać zbiory rozwiązań przynajmniej części równań i nierówności liczbowych, a także dziedziny często używanych funkcji zmiennej rzeczywistej, np. tych elementarnych^{[potrzebny przypis]};
• badanie przebiegu zmienności funkcji polega m.in. na wskazaniu przedziałów o określonym znaku wartości oraz o określonej monotoniczności i wypukłości lub wklęsłości;
• za pomocą przedziałów można zdefiniować pewne pojęcia analizy matematycznej jak własność Darboux czy całka Riemanna;
• przedziały są też jednym z fundamentów topologii; dostarczają podstawowych przykładów różnych typów zbiorów wyróżnianych przez tę naukę – otwartych, domkniętych, otwarto-domkniętych, spójnych, obszarów i continuów;
• zbiory przedziałów tworzą różne struktury algebraiczne, przykładowo z działaniem przekroju zbiorów, a w przypadku przedziałów liczbowych – z dodawaniem Minkowskiego i iloczynem kompleksowym;
• pojęcie przedziału pojawia się też w definicji prawdopodobieństwa jako miary o wartościach w przedziale jednostkowym;
• analiza numeryczna celuje m.in. w znajdowanie przedziałów, w których znajdują się rozwiązania pewnych równań liczbowych;
• przedziały liczb wymiernych pojawiają się też w jednej z definicji konstrukcyjnych liczb rzeczywistych – przez przekroje Dedekinda;
• nauki empiryczne jak fizyka, astronomia i geodezja posługują się przedziałami liczbowymi, ponieważ to one – a nie pojedyncze liczby – są wynikami pomiarów, zawsze ograniczonych niepewnością.

Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Zobacz hasło przedział w Wikisłowniku

• Otoczenie i sąsiedztwo
• zakres (programowanie)
• zbiór borelowski
• analiza przedziałowa

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Interval, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-19].
•   Interval and segment (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].