Funkcja rzeczywista
Funkcja rzeczywista – funkcja, której przeciwdziedzina jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych[1]; innymi słowy jest to funkcja o wartościach rzeczywistych: f:X→Y, Y⊆ℝ. Czasem znaczenie tego terminu jest:
- węższe; wymaga się niekiedy, aby także dziedzina funkcji była podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych (X⊆ℝ)[2][3];
- szersze; za przeciwdziedzinę uznaje się rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, tj. dopuszcza się wartości nieskończone (∞, ±∞)[4].
Teorię funkcji rzeczywistych zalicza się do analizy matematycznej[potrzebny przypis], choć funkcje rzeczywiste rozumiane szeroko pojawiają się też w innych dyscyplinach:
- ciągi liczb rzeczywistych bada między innymi rachunek różnicowy, wykraczający poza analizę do matematyki dyskretnej;
- rzeczywiste wielomiany to klasyczny temat badań algebry, a formy wieloliniowe i kwadratowe są badane przez algebrę liniową;
- metryka czy wymiar stanowią pojęcia topologiczne, a ta pierwsza jest też używana w matematyce dyskretnej, np. teorii grafów;
- pojęcia jak długość krzywej, pole powierzchni czy objętość dotyczą nie tylko analizy, ale i geometrii, tak jak miara kąta;
- formalnie funkcją rzeczywistą jest też moc zbioru skończonego – centralne pojęcie kombinatoryki;
- przykładem funkcji rzeczywistej jest prawdopodobieństwo.
Fundamentem fizyki i całej nauki empirycznej są wielkości mierzalne określone funkcjami rzeczywistymi – nie tylko te geometryczne (odległość, długość, pole powierzchni, objętość, miara kąta), ale też masa, temperatura czy ładunek elektryczny.
Podtypy i problemy
edytujFunkcja rzeczywista może być określona w sposób jawny lub uwikłany. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest uporządkowany, funkcje o wartościach rzeczywistych można podzielić na ograniczone i nieograniczone oraz wyróżniać ekstrema globalne. Zagadnieniom tego typu są poświęcone całe dyscypliny matematyczne jak rachunek wariacyjny.
Jeśli dziedzina jest wyposażona w dodatkowe struktury, to dla takich funkcji można definiować dalsze pojęcia i wyróżniać szczególne klasy:
- częściowy porządek prowadzi do zagadnienia monotoniczności oraz ekstremów lokalnych;
- topologia również pozwala definiować ekstrema lokalne, a także ciągłość i własność Darboux;
- funkcje rzeczywiste na rozmaitościach stanowią przykład pól skalarnych, przez co są badane przez teorię pola, w tym teorię potencjału;
- funkcje na magmach mogą być okresowe, te na grupach także parzyste lub nieparzyste, a te na przestrzeniach liniowych mogą być formami (funkcjonałami) i mogą być wypukłe lub wklęsłe;
- struktura liniowo-topologiczna umożliwia wprowadzenie pochodnej i różniczki. Dostarcza to narzędzi poszukiwania ekstremów, ponieważ należą one do punktów krytycznych;
- funkcje działające z przestrzeni mierzalnej można czasem całkować.
Funkcje rzeczywiste same bywają używane do definiowania pewnych struktur, np. przestrzeni metrycznych i pseudometrycznych.
Rozwinięto teorie równań funkcyjnych – zwłaszcza różniczkowych i różnicowych – w których niewiadomymi są funkcje rzeczywiste. Równania takie można rozwiązywać w sposób przybliżony, rozważając ciągi funkcyjne; dzieje się tak, ponieważ funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą przestrzeń topologiczną, przez co wśród ciągów takich funkcji można wyróżnić te zbieżne. Wszystkie funkcje rzeczywiste z ustalonego zbioru tworzą także przestrzeń liniową, a konkretniej liniowo-topologiczną. Przez to takie przestrzenie funkcyjne należą do obszaru badań analizy funkcjonalnej.
Przypadek zmiennej rzeczywistej
edytujDo funkcji tego rodzaju stosują się wszystkie powyższe koncepcje i niektóre dodatkowe zagadnienia, np. szczególne rodzaje nieciągłości i punkty przegięcia. Oprócz tego:
- jeśli dziedzina i przeciwdziedzina przecinają się (X∩Y≠∅), to mogą występować punkty stałe i zbiory niezmiennicze;
- jeśli dziedzina i przeciwdziedzina pokrywają się (X=Y), to mogą występować punkty okresowe, a funkcja może być idempotentna lub inwolutywna.
Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej dzieli się na elementarne i specjalne. Wśród tych pierwszych wyróżnia się funkcje algebraiczne, a pozostałe nazywa przestępnymi. Do funkcji algebraicznych zalicza się rzeczywiste funkcje wymierne, w tym rzeczywiste wielomiany. Wśród elementarnych funkcji przestępnych szczególnie często używane są funkcje wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz wartość bezwzględna i różne funkcje schodkowe.
Funkcje tego typu są niewiadomymi w równaniach różniczkowych zwyczajnych.
Przypisy
edytuj- ↑ Rasiowa 2004 ↓, s. 42.
- ↑ funkcje rzeczywiste, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-10-03].
- ↑ Reinhardt i Soeder 2003 ↓, s. 269,308.
- ↑ Łojasiewicz 1973 ↓.
Bibliografia
edytuj- Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973.
- Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, seria: Biblioteka Matematyczna (BM 30).
- Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Prószyński i S-ka, 2003. ISBN 83-7469-189-1.
Literatura dodatkowa
edytuj- Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, s. 56. ISBN 83-02-02551-8.
Linki zewnętrzne
edytujPodział teorii funkcji rzeczywistych według klasyfikacji MSC 2020 (ang.) [dostęp 2024-02-07].