Uogólnianie matematyczne

Uogólnianie matematyczne (proces uogólniania, generalizowanie) – jedna z aktywności matematycznych^[1][2][3]. Uogólnianie matematyczne jest przejściem od rozpatrywania jednego obiektu do rozpatrywania zbioru zawierającego ten obiekt albo przejściem od rozpatrywania węższego zbioru do rozpatrywania szerszego zbioru zawierającego ten zbiór^[4].

Uogólnianie jest pewnym procesem, czynnością poznawczą^[5]. Lubomirski scharakteryzował proces uogólniania następująco:

Lubomirski dostrzega różne źródła tych sytuacji, takie jak np.: (1) uogólnienie B było zainspirowane sytuacją wyjściową redukującą się do A lub zawierającą A jako jeden z jej elementów; albo (2) polegało na odtworzeniu takiej sytuacji wyjściowej i rozpoznaniu relacji inkluzji między A i B oraz otaczającymi je sytuacjami matematycznymi^[6][7]. Uogólnienie wiąże się z pokonywaniem drogi od ogółu do szczegółu oraz świadomością tej drogi^[7].

Przykład uogólnienia w ujęciu (1): uczeń po przypomnieniu wzoru na pole kwadratu bada, jakie jeszcze czworokąty mają tę własność, że ich pole jest iloczynem długości dwóch sąsiednich boków^[7].

Przykład uogólnienia w ujęciu (2): uczeń po wprowadzeniu definicji odpowiednich czworokątów odpowiada na pytania nauczyciela: Czy każdy kwadrat jest równoległobokiem? Czy każdy równoległobok jest kwadratem?^[7].

Uogólnianie polega na ustaleniu pewnych wspólnych własności danego zbioru obiektów, co jest równoważne znajdowaniu pewnego zbioru, zawierającego dane obiekty-zbiory^[8]. Pozbywa się wtedy jednostkowości wyabstrahowanej cechy i rozciąga ją na cały zbiór obiektów lub relacji^[8]. Przykładem może być uogólnienie „bycia trójkątem równobocznym” na „bycie wielokątem foremnym”^[9].

W tym ujęciu wyróżnia się^[9]:

• uogólnienie pojęcia^[8]:
  • uogólnienie klasy pojęciowej^[8]
  • uogólnienie relacji^[8]
• uogólnienie twierdzenia^[10].

Podział uogólnień ze względu na typ sytuacji, w której dokonuje się uogólnienia:

1. Uogólniania pojęć i definicji^[11][12]:
   1. Uogólnianie przez rozpoznanie^{[11][12][13][14]}
   2. Uogólnianie przez konstrukcję^{[11][12][13][14]}
2. Uogólniania twierdzeń, zadań lub rozumowań^[11][12]:
   1. Wnioskowanie empiryczne^[11]:
      1. empiryzm w przyrodzie (empiryzm w dziedzinie modeli, rzeczywistości)^[11][12][15]
      2. uogólnianie typu indukcyjnego (empiryzm w matematyce)^{[11][12][13][15][14][16][10][17][18]}
   2. Uogólnianie rozumowania^{[11][12][13][16][17]}:
      1. Uogólnianie przez uzmiennianie stałych^{[11][12][14][10]}
      2. Uogólnianie przez dostrzeżenie prawa rekurencji^[11][12][13]
   3. Uogólnianie wyniku lub metody^[11][12][17]
   4. Uogólnianie przez unifikację^{[11][12][13][16][10]}.

Typy te nie są rozłączne^[19].

Uogólnianie jest procesem, operacją myślową, czynnością, procedurą poznawczą^[20]. Uogólnienie jest rezultatem tego procesu – jest to np. pewne pojęcie, twierdzenie, hipoteza, sąd, prawidłowość, słowo, zadanie, zdanie itp^[20][21].

Uogólnianie kojarzy się z rozumowaniem indukcyjnym (od szczegółu do ogółu)^[22]. Jednak dydaktycy matematyki dostrzegają także możliwość uogólniania na drodze rozumowania dedukcyjnego (od ogółu do szczegółu)^[22].

Niektórzy dydaktycy stosują nawet podział na uogólnienia dedukcyjne oraz uogólnienia indukcyjne^[a] (nie mylić z uogólnieniami typu indukcyjnego)^[22]. Istota uogólniania dedukcyjnego sprowadza się do sprawdzania, czy dany obiekt posiada pewną własność, i wnioskowania na tej podstawie o jego przynależności do zakresu danego pojęcia^[22]. Przykładowo po zdefiniowaniu wielokąta foremnego nauczyciel rysuje kilka wielokątów foremnych i nieforemnych. Zadaniem uczniów jest uzasadnienie, dlaczego dany wielokąt jest foremny lub nie^[23].

Abstrakcję i uogólnianie, mimo że są pojęciami ze sobą powiązanymi, trzeba od siebie odróżniać^[24]. Abstrahowanie oznacza pomijanie pewnych cech, mniej istotnych z pewnego punktu widzenia, wyodrębnianie (wydzielenie) konkretnych, ważnych cech i oderwanie ich od pozostałych^{[24][25][26][27][28][29][30][8]}. Uogólnianie można rozumieć jako abstrahowanie cech wspólnych^[31]. Zatem abstrakcja jest wydzieleniem, wydobyciem jakiejś ważnej strony jakiegoś zjawiska i oderwanie go od pozostałych cech^[29][30][8]. Z kolei uogólnianie polega na odrzuceniu cech specyficznych, jednostkowych, swoistych oraz jednostkowości cech wyabstrahowanych i zachowanie wyłącznie tych, które są wspólne dla różnych przedmiotów jednostkowych, które odbywa się przez porównywanie lub abstrahowanie^[30][8][32]. Inaczej mówiąc, abstrakcja to tworzenie klasy, a uogólnianie to rozszerzanie klasy^[33][34]. Z tej przyczyny abstrahowanie jest dla ucznia łatwiejsze od uogólniania^[33][35]. Pomostem między abstrahowaniem i uogólnianiem jest tzw. „abstrahowanie generalizujące”^[36].

Powiązanie procesów abstrahowania tudzież uogólniania ilustruje poniższy schemat:

Tak rozumiana abstrakcja jest narzędziem pomocnym w procesie uogólniania^[24].

Kolejny przykład współdziałania abstrakcji i uogólniania podał Tocki:

• Polscy dydaktycy matematyki wskazują na problemy uczniów w wieku do lat 15 dotyczące aktywności uogólniania^[39]. Przykładowo, na egzaminie gimnazjalnym w 2008 roku zaledwie 13% uczniów potrafiło zapisać uogólnienie w postaci wyrażenia algebraicznego dla układanki przedstawionej na rysunku^[40][41][42].