Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych – twierdzenie geometrii wypukłej mówiące, że każdy zbiór wypukły ${\displaystyle C}$ w przestrzeni euklidesowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ który jest symetryczny względem zera oraz którego objętość ${\displaystyle d}$-wymiarowa jest większa niż ${\displaystyle 2^{d},}$ zawiera niezerowy punkt kratowy, tj. taki punkt kratowy, którego przynajmniej jedna ze współrzędnych jest niezerową liczbą całkowitą^[1]. Twierdzenie udowodnione przez niemieckiego matematyka, Hermanna Minkowskiego. Rozszerzeniem twierdzenia Minkowskiego jest twierdzenie Blichfeldta^[2].

Twierdzenie Minkowskiego o punktach kratowych ma ogólniejszą formę dotyczącą bardziej ogólnych podkrat przestrzeni euklidesowej.

Niech ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}}$ będą liniowo niezależnymi wektorami w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$ Zbiór

${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} f_{1}+\ldots +\mathbb {Z} f_{d}}$

nazywany jest kratą generowaną przez ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}.}$ Niech ${\displaystyle G_{\Gamma }}$ będzie równoległościanem generowanym przez ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}.}$ Twierdzenie Minkowskiego można sformułować dla kraty ${\displaystyle \Gamma .}$

Niech ${\displaystyle C}$ będzie zbiorem wypukłym w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ który jest symetryczny względem 0 oraz niech ${\displaystyle \Gamma }$ będzie kratą w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$ Jeżeli

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}\,C>2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },}$

to ${\displaystyle C}$ zawiera punkt należący do ${\displaystyle \Gamma }$ różny od 0, tj.

${\displaystyle C\cap (\Gamma \setminus \{0\})\neq \varnothing }$^[3].

• W przypadku, gdy zbiór ${\displaystyle C}$ jest również zwarty, twierdzenie Minkowskiego zachodzi pod słabszym założeniem:

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}\,C\geqslant 2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },}$

jednak w ogólności, założenia tego nie można pominąć^[3]. Istotnie, niech ${\displaystyle C}$ będzie kwadratem bez brzegu na płaszczyźnie o wierzchołkach ${\displaystyle (1,1),(-1,1),(1,-1),(-1,-1).}$ Wówczas pole powierzchni (objętość 2-wymiarowa) zbioru ${\displaystyle C}$ wynosi ${\displaystyle 2^{2},}$ jednak ${\displaystyle C}$ nie zawiera punktów kratowych innych niż ${\displaystyle (0,0)}$^[4].

• Objętość ${\displaystyle d}$-wymiarowa ${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}G_{\Gamma }}$ wynosi ${\displaystyle |\det[f_{1},\dots ,f_{d}]|,}$ tj. równa jest wartości bezwzględnej wyznacznika macierzy, której kolumnami są wektory ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{d}.}$

Najpierw wykażemy, że wśród zbiorów postaci

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma \quad (\gamma \in \Gamma ),}$

pewne dwa mają niepustą część wspólną.

W tym celu przypuśćmy, że jest przeciwnie tj. że są ona parami rozłączne. Wówczas również zbiory

${\displaystyle G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )\quad (\gamma \in \Gamma )}$

byłyby parami rozłączne, a więc z σ-addytywności miary zachodziłaby nierówność

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma })\geqslant \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )).}$

Mamy jednak

${\displaystyle (G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C=[G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma )]-\gamma ,}$

a więc

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}(G_{\Gamma }\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma ))=\mathrm {vol} _{d}((G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C).}$

Rodzina

${\displaystyle G_{\Gamma }-\gamma \quad (\gamma \in \Gamma )}$

jest pokryciem całej przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$ a więc w szczególności zbioru ${\displaystyle 1/2C.}$ Ostatecznie,

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma }\geqslant \sum _{\gamma \in \Gamma }\mathrm {vol} _{d}((G_{\Gamma }-\gamma )\cap {\tfrac {1}{2}}\cdot C)=\mathrm {vol} _{d}({\tfrac {1}{2}}\cdot C)={\tfrac {1}{2^{d}}}\mathrm {vol} _{d}\,C,}$

co prowadzi do sprzeczności z założeniem twierdzenia.

Stąd dla pewnych dwóch różnych punktów ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\in \Gamma }$ zbiory

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{1},\quad {\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{2},}$

mają niepusty przekrój i niech

${\displaystyle z\in ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{1})\cap ({\tfrac {1}{2}}\cdot C+\gamma _{2}).}$

To oznacza, że

${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}x_{1}+\gamma _{1}={\tfrac {1}{2}}x_{2}+\gamma _{2},}$

dla pewnych ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in C.}$ Odejmując stronami, dostaniemy

${\displaystyle \gamma _{1}-\gamma _{2}={\tfrac {1}{2}}x_{2}-{\tfrac {1}{2}}x_{1}\in C,}$

przy czym relacja należenia wynika z wypukłości i symetrii względem 0 zbioru ${\displaystyle C.}$ Szukanym punktem kratowym zbioru ${\displaystyle C}$ jest

${\displaystyle \gamma =\gamma _{1}-\gamma _{2}\in C}$^[3].

Objętość ${\displaystyle d}$-wymarowa zbioru ${\displaystyle 1/2C}$ wynosi ${\displaystyle 2^{-d}\mathrm {vol} _{d}C,}$ a więc z założenia

${\displaystyle \mathrm {vol} _{d}\,({\tfrac {1}{2}}\cdot C)=2^{-d}\mathrm {vol} _{d}\,C>2^{-d}\cdot 2^{d}\cdot \mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma }=\mathrm {vol} _{d}\,G_{\Gamma },}$

a zatem twierdzenie Blichfeldta stosuje się do ${\displaystyle 1/2C.}$ Istnieją zatem takie dwa różne punkty ${\displaystyle x,y\in C,}$ że

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y\in \Gamma \setminus \{0\}.}$

Ponieważ zbiór ${\displaystyle C}$ jest symetryczny względem 0, element ${\displaystyle -y}$ należy do ${\displaystyle C.}$ Z wypukłości zbioru ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}y={\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}(-y)\in (\Gamma \setminus \{0\})\cap C}$^[2].

• Helmut Koch: Number Theory. Algebraic Numbers and Functions. American Mathematical Society, 2000, seria: Graduate Studies in Mathematics 24. ISBN 978-3-642-58095-6.
• Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory. Springer, 1999, seria: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. ISBN 978-3-662-03983-0.
• Sherman Stein, Sandord Szabó: Algebra and tiling. Homomorphisms in the service of geometry. Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1994. ISBN 978-0883850282.
• JuliuszJ. Wójcik JuliuszJ., O zastosowaniu geometrii liczb do przedstawień liczb naturalnych przez sumy kwadratów, „Wiadomości Matematyczne” (10), 1975, s. 19–31 .

• Winfried Scharlau, Hans Opolka: From Fermat to Minkowski: Lectures on the Theory of Numbers and Its Historical Development. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.