Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu^[1] w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.

Równanie

${\displaystyle a^{x}-b^{y}=1,}$

gdzie ${\displaystyle a,x,b,y}$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: ${\displaystyle a=3,}$ ${\displaystyle x=2,}$ ${\displaystyle b=2,}$ ${\displaystyle y=3.}$ Równanie to jest znane jako równanie Catalana^[2][3].

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest ${\displaystyle 8=2^{3}}$ i ${\displaystyle 9=3^{2}.}$

Jedynym rozwiązaniem równania postaci ${\displaystyle 2^{a}=(2k+1)^{b}\pm 1,}$ gdzie ${\displaystyle a>1,\ b>1,\ k>0}$ jest ${\displaystyle k=1,\ a=3,\ b=2}$ (np. ${\displaystyle 2^{3}=3^{2}-1}$)^[4].

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Diophantine Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-03].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].