Punkt Nagela

Punkt Nagela – punkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 roku^[1].

Niech dany będzie trójkąt ${\displaystyle \Delta ABC.}$ Oznaczmy poprzez ${\displaystyle T_{A},\,T_{B},\,T_{C}}$ punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków ${\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C}$ łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.

Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki ${\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C}$ przecinają się w jednym punkcie^[2][1][3].

Z definicji okrąg ${\displaystyle O_{A}}$ jest styczny do ramion kąta ${\displaystyle \angle BAC.}$ Oznaczmy punkty styczności okręgu ${\displaystyle O_{A}}$ z ramionami poprzez ${\displaystyle X}$ oraz ${\displaystyle Y.}$ Oznacza to, że odcinki ${\displaystyle AX}$ i ${\displaystyle AY}$ mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki ${\displaystyle BX}$ i ${\displaystyle BT_{A}}$ oraz ${\displaystyle T_{A}C}$ i ${\displaystyle CY,}$ ponieważ okrąg ${\displaystyle O_{A}}$ jest również styczny do ramion kątów ${\displaystyle \angle XBT_{A}}$ oraz ${\displaystyle \angle T_{A}CY.}$ Wywnioskować możemy z tego, że

${\displaystyle |AB|+|BT_{A}|=|AC|+|CT_{A}|.}$

(1a)

Analogicznie wywnioskować możemy, że

${\displaystyle |BC|+|CT_{B}|=|BA|+|AT_{B}|}$

(1b)

${\displaystyle |CA|+|AT_{C}|=|CB|+|BT_{C}|.}$

(1c)

Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta ${\displaystyle \Delta ABC{:}}$ ${\displaystyle {\frac {AB+BC+CA}{2}}.}$ Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaci^[4]

${\displaystyle |BT_{A}|=|AT_{B}|={\frac {1}{2}}(AC+CB-BA)}$

(2a)

${\displaystyle |AT_{C}|=|CT_{A}|={\frac {1}{2}}(AB+CB-CA)}$

(2b)

${\displaystyle |CT_{B}|=|BT_{C}|={\frac {1}{2}}(CA+AB-BC).}$

(2c)

Teraz zauważmy, że zachodzi

${\displaystyle {\frac {|AT_{B}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|CT_{A}|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|BT_{C}|}{|T_{C}A|}}={\frac {|BT_{A}|}{|T_{B}C|}}\cdot {\frac {|T_{C}A|}{|T_{A}B|}}\cdot {\frac {|CT_{B}|}{|T_{C}A|}}=1,}$

co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki ${\displaystyle T_{A}A,\,T_{B}B,\,T_{C}C}$ przecinają się więc w jednym punkcie.

Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’a^[5].

Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanego są współliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-Eulera^[6].

Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta ${\displaystyle \Delta ABC,}$ tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta ${\displaystyle \Delta ABC.}$ Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta ${\displaystyle \Delta ABC}$ jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta ${\displaystyle \Delta ABC,}$ tj. trójkąta, dla którego ${\displaystyle \Delta ABC}$ jest trójkątem dopełniającym^[6][7] [8] .

Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela są^[9]

${\displaystyle \operatorname {cosec} ^{2}(A/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(B/2)\,:\,\operatorname {cosec} ^{2}(C/2)}$

lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}\,:\,{\frac {c+a-b}{b}}\,:\,{\frac {a+b-c}{c}}.}$

• Peter Baptist. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. „Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften”. 71 (2), 1987. brak numeru strony
• O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
• H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
• William Gallatly: The Modern Geometry of the Triangle. Londyn: Hodgson, 1913.
• Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki. praca zbiorowa pod red. Małgorzaty Mikołajczyk. Warszawa: Ośrodek Rozwoju Edukacji, 2012.
• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
• Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
• S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
• Anonim. Geometry: 69-72, Problem 73. „American Mathematical Monthly”. 3 (12), s. 329, 1893. JSTOR: 2970994?. Sprawdź autora:1.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Nagel Point, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-10-30].
• Polymathematics: Why is the Incenter the Nagel Point of the Medial Triangle?. [dostęp 2014-08-18].
• Punkt Nagela ze strony Cut-the-knot