Proces gaussowski

Proces gaussowski – proces stochastyczny ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in T},}$ którego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie. Najbardziej znanymi przykładami procesów gaussowskich są proces Wienera i most Browna.

Poniższe definicje procesu gaussowskiego są wymienne. Ich równoważność wynika wprost z własności rozkładu normalnego. Mówimy, że proces ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in T}}$ jest procesem gaussowskim, gdy

• Definicja 1 – dla każdego skończonego zbioru indeksów ${\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in T}$ zmienna losowa

${\displaystyle (X_{t_{1}},X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}})}$ ma rozkład normalny.

• Definicja 2 – każda liniowa kombinacja ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{t_{i}}}$ ${\displaystyle (a_{i}\in \mathbb {R} ,t_{i}\in T)}$ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym.
• Definicja 3 – funkcja charakterystyczna kombinacji liniowych ma postać

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\exp \left(i\ \sum _{\ell =1}^{k}t_{\ell }\ \mathbf {X} _{t_{\ell }}\right)\right)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\,\sum _{\ell ,j}\sigma _{\ell j}t_{\ell }t_{j}+i\sum _{\ell }\mu _{\ell }t_{\ell }\right).}$

Proces gaussowski nazywamy scentrowanym, gdy ${\displaystyle \forall _{t\in T}\operatorname {E} X_{t}=0}$

Dla procesu gaussowskiego definiujemy funkcję wartości średniej ${\displaystyle f(t)=\operatorname {E} X_{t}}$ i funkcję kowariancji ${\displaystyle c(t_{1},t_{2})=\mathrm {Cov} (X_{t_{1}},X_{t_{2}}).}$ Funkcja kowariancji jest dodatnio określona. Na odwrót para funkcji ${\displaystyle f\colon T\to \mathbb {R} \,\,c\colon T\times T\to \mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle c}$ jest dodatnio określona definiuje proces gaussowski. Jest on jedyny z dokładnością do rozkładów skończenie wymiarowych.

• proces stochastyczny