Nieskończenie małe

Nieskończenie małe (infinitezymalne) – pojęcie analizy matematycznej o co najmniej dwóch znaczeniach:

• historycznie: funkcje dążące do zera w danym punkcie^[1];
• w analizie niestandardowej: podzbiór ciała uporządkowanego ${\displaystyle {\mathfrak {F}}:=(\mathbb {F} ,+,\cdot ,0,1,<)}$ zdefiniowany jako zbiór tych elementów ciała, które są na moduł mniejsze od dowolnej liczby postaci ${\displaystyle 1/n}$ (gdzie ${\displaystyle n}$ rozumie się jako ${\displaystyle n}$-krotną sumę jedności ${\displaystyle 1}$ ciała ${\displaystyle \mathbb {F} }$), czyli zbiór:

${\displaystyle \Omega :=\{x\in \mathbb {F} \colon \forall _{n\in \mathbb {N} }\ |x|<1/n\}.}$

Ta druga definicja jest poprawna, ponieważ:

• w każdym ciele uporządkowanym porządek jest liniowy,
• istnieją liczby „naturalne” (jako skończone sumy multiplikatywnego elementu neutralnego),
• da się zdefiniować funkcję moduł jako:

${\displaystyle |x|:={\begin{cases}x&{\mbox{dla }}x\geqslant 0,\\-x&{\mbox{dla }}x<0,\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle -x}$ oznacza element przeciwny do ${\displaystyle x}$ względem działania addytywnego^[2].

W ciele liczb rzeczywistych ${\displaystyle {\mathfrak {R}}:=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1,<)}$ jedyną liczbą nieskończenie małą jest liczba ${\displaystyle 0,}$ czyli ${\displaystyle \Omega =\{0\}.}$

 Zobacz więcej w artykule Liczby hiperrzeczywiste, w sekcji Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistych.

W ciele liczb hiperrzeczywistych ${\displaystyle {\mathfrak {R}}^{*}:=(\mathbb {R} ^{*},\oplus ,\odot ,0^{*},1^{*},\prec )}$ zbiór liczb nieskończenie małych to

${\displaystyle \Omega =\{x\in \mathbb {R} ^{*}\colon \forall _{r\in \mathbb {R} _{+}}\ |x|\prec r^{*}\}}$^[3][4] i liczb tych jest nieskończenie wiele.

Do zbioru ${\displaystyle \Omega }$ należy np. liczba ${\displaystyle [(1/n)_{n=1}^{\infty }]}$^[4][5].

Struktura ${\displaystyle (\Omega ,\oplus ,0^{*})}$ jest grupą^[6], a ${\displaystyle (\Omega ,\oplus ,\odot ,0^{*})}$ jest pierścieniem^[4] oraz grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych^[4][6].

W zbiorze ${\displaystyle \Omega }$ nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej^[4].

Liczby odwrotne względem działania ${\displaystyle \odot }$ do niezerowej liczby nieskończenie małej są liczbami nieskończenie dużymi^[7].

• różniczka