Kwadrat logiczny

Kwadrat logiczny – diagram przedstawiający relacje (m.in. wynikania, równoważności bądź wykluczania) pomiędzy szczególnymi rodzajami zdań logicznych. Klasyczny (oparty na logice arystotelesowskiej) kwadrat logiczny to graficzne przedstawienie zależności zachodzących między poszczególnymi zdaniami kategorycznymi^[1]. Współcześnie kwadratem logicznym nazywa się także diagram obrazujący powiązania pomiędzy różnymi typami implikacji.

Zależności między zdaniami tradycyjnego kwadratu logicznego opisał Arystoteles w dziele O interpretacji, natomiast ich graficzne przedstawienie w postaci diagramu jest o kilka wieków późniejsze. Na gruncie współczesnej logiki formalnej podstawowym zarzutem wobec tradycyjnego kwadratu logicznego jest to, że zastosowanie w nim jako podmiotu (S) nazwy pustej, czyli nie posiadającej desygnatów (np. jednorożec), prowadzi do problemów interpretacyjnych i paradoksów^[2] .

 Osobny artykuł: Teoria nazw.

W logice tradycyjnej tzw. zdania kategoryczne zbudowane są z podmiotu (S) i predykatu (P). Predykat może podlegać negacji lub nie, a podmiot może występować w postaci ogólnej (wszystkie S) lub szczegółowej (pewne S). Daje to cztery główne typy zdań kategorycznych^[3]:

• zdanie ogólno-twierdzące „Każde S jest P” (symbolicznie ${\displaystyle \mathrm {S\,a\,P} }$), np. „Każdy filozof jest łysy”;
• zdanie ogólno-przeczące „Żadne S nie jest P” ${\displaystyle (\mathrm {S\,e\,P} ),}$ np. „Żaden filozof nie jest łysy”;
• zdanie szczegółowo-twierdzące „Niektóre S są P” ${\displaystyle (\mathrm {S\,i\,P} ),}$ np. „Niektórzy filozofowie są łysi”;
• zdanie szczegółowo-przeczące „Niektóre S nie są P” ${\displaystyle (\mathrm {S\,o\,P} ),}$ np. „Niektórzy filozofowie nie są łysi”.

Symboliczny zapis zdań kategorycznych pochodzi od odpowiednich słów języka łacińskiego: subiectum (podmiot), praedicatum (orzecznik), affirmo (twierdzę), nego (przeczę)^[3][4].

Na rysunku obok strzałki oznaczają wynikanie, linia kropkowana łączy zdania pozostające w stosunku przeciwieństwa (niewspółprawdziwe), zielona linia przerywana łączy zdania podprzeciwne (niewspółfałszywe), a czerwona linia przerywana zdania sprzeczne.

Te same zależności można przedstawić klasycznymi funktorami prawdziwościowymi stosowanymi w rachunku zdań – przy czym nazywa się je prawami opozycji bądź prawami kwadratu logicznego^[5]:

S a P ${\displaystyle {\underline {\lor }}}$ S o P

S e P ${\displaystyle {\underline {\lor }}}$ S i P

S a P ${\displaystyle |}$ S e P

S i P ${\displaystyle \vee }$ S o P

S a P ${\displaystyle \to }$ S i P

S e P ${\displaystyle \to }$ S o P

Dzięki znajomości praw opozycji możemy w niektórych przypadkach na podstawie informacji o wartości logicznej jednego ze zdań, określić wartość logiczną innego zdania. Np. wiedząc, że zdanie S a P jest prawdziwe, możemy ustalić, iż zdania S e P oraz S o P są fałszywe, a zdanie S i P jest prawdziwe.

Współcześnie kwadratem logicznym bywa też nazywany inny diagram o tym samym kształcie, obrazujący zależności między różnymi typami twierdzeń (implikacji). W odróżnieniu od tradycyjnego kwadratu logicznego, zdania przyporządkowane przeciwległym wierzchołkom kwadratu są w nim równoważne, a nie sprzeczne.

Dla danej implikacji ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ zwanej prostą, wyróżnia się następujące typy zdań^[6][7]:

• ${\displaystyle q\Rightarrow p}$ (implikacja odwrotna),
• ${\displaystyle \neg \,q\Rightarrow \neg \,p}$ (implikacja przeciwstawna)
• ${\displaystyle \neg \,p\Rightarrow \neg \,q}$ (implikacja przeciwna).

Na ogół z prawdziwości implikacji prostej nie wynika prawdziwość implikacji odwrotnej ani przeciwnej; implikacja prosta jest natomiast równoważna implikacji przeciwstawnej^[8].

 Osobne artykuły: Prawa rachunku zdań i Prawo kontrapozycji.

Prawo transpozycji (nazywane także prawem kontrapozycji) mówi, że implikacja prosta jest równoważna implikacji przeciwstawnej:

${\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\neg \,q\Rightarrow \neg \,p)}$^[9][6]

Na diagramie zobrazowane to jest przez połączenie implikacji prostej ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ z implikacją przeciwstawną ${\displaystyle \neg \,q\Rightarrow \neg \,p}$ za pomocą czerwonej przerywanej linii (przekątnej kwadratu).

Również implikacja odwrotna ${\displaystyle q\Rightarrow p}$ i przeciwna ${\displaystyle \neg \,p\Rightarrow \neg \,q}$ są połączone przerywaną czerwoną linią. Poprzez zamianę zmiennych (podstawienie ${\displaystyle p}$ za ${\displaystyle q}$ i odwrotnie) z powyższej tautologii otrzymujemy bezpośrednio zdanie:

${\displaystyle (q\Rightarrow p)\Leftrightarrow (\neg \,p\Rightarrow \neg \,q)}$

Zatem implikacje odwrotna i przeciwna także są równoważne.

Aby udowodnić równoważność ${\displaystyle p\Leftrightarrow q,}$ dowodzi się osobno implikacji ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ i implikacji odwrotnej ${\displaystyle q\Rightarrow p.}$ Ponieważ zdania leżące w przeciwległych wierzchołkach kwadratu logicznego są równoważne, wynika z tego, że do dowodu równoważności zdań ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ wystarczy udowodnić prawdziwość dowolnych dwóch implikacji, umieszczonych wzdłuż tego samego boku kwadratu logicznego^[10].

• Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
• Sławomir Lewandowski, Hanna Machińska, Andrzej Malinowski, Jacek Pecel: Logika dla prawników. Andrzej Malinowski (red.). Wyd. 6. Warszawa: LexisNexis, 2010. ISBN 978-83-7620-432-1.
• Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. Kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
• TerenceT. Parsons TerenceT., The Traditional Square of Opposition, Edward N.E.N. Zalta (red.), [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy, Winter 2017 Edition, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 12 kwietnia 2017, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-01-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21]  (ang.).???
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka Matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
• Matematyka. Włodzimierz Waliszewski (red.). Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1988, seria: Encyklopedia szkolna. ISBN 83-02-02551-8.

• Międzynarodowy Kongres poświęcony kwadratowi logicznemu