Dyskusja:Wypukłość funkcji

Ave, Hannibal!

Ciekawe, intuicyjne podejście do wypukłości. Brak jednak klasycznej nierówności:
f(ax+by)<af(x)+bf(x), dla a, b>0, a+b=1

Terminologia: w literaturze angielskiej nie ma w ogóle rozróżnień "wypukła w dół"/"wypukła w górę", tam jest po prostu: funkcja wypukła - f(ax+by)<af(x)+bf(x) - lub wklęsła i jakoś wszyscy potrafią spamiętać te określenia.

Co gorsza, w polskiej literaturze można spotkać się z rozbieżnymi określeniami funkcji wypukłej w górę i w dół, tzn. są takie jak podałeś i takie, jakimi pozwoliłem sobie je zastąpić (odwrotnie do Twoich określeń). Idę tu klasycznym podręcznikiem Fichtenholza - moim zdaniem są one bardziej intuicyjne: wypukła w dół = wygięta w dół, wybrzuszona w dół.

Sam temat zaś można dalej rozwinąć (choćby przez ilustrację), co uczynię, gdy znajdę wolny czas. WojciechSwiderski 10:23, 4 kwi 2004 (CEST)[odpowiedz]

Tak, z wypukłością są problemy, pamiętam jak kazali mi narysować przy jakiejś odpowiedzi co rozumie przez funkcję wypukłą w ... :).Hannibal 10:34, 4 kwi 2004 (CEST)[odpowiedz]

W polskiej literaturze w większości przypadków przy definicji wypukłości funkcji pojawiają się terminy wypukła i wklęsła. Również w cytowanym wyżej podręczniku Fichtenholza są takie definicje a pojęcia wypukła w dół (dla wypukłej) i wypukła w górę dla wklęsłej pojawiają się w nawiasach jako dodatkowe. Proponuję zatem przyjąć nazewnictwo wypukła (wypukła w dół) oraz wklęsła (wypukła w górę). Zmian nie nanoszę, proponuję pod głęboką rozwagę autorowi. Co do rozbieżności to nigdy nie natknąłem się na inną (odwrotną) definicję wypukłości owszem były to definicje podane w inny sposón np. przy użyciu cięciwy (siecznej) zamiast stycznej ale zawsze wypukła to była wypukła w dół. Danielm 00:47, 20 kwi 2004 (CEST)[odpowiedz]

Wypukła w dół brzuchem czy ramionami? :-) 15:39, 5 sie 2009 (CEST)

W definicji wypukłości (i wklęsłości) czytamy:

"Funkcja f(x) jest wypukła w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu x0 z przedziału (a,b)".

Równocześnie jako ilustrację tej definicji podano wzór z nierównością nieostrą. Ten wzór jest spełniony również przez funkcję liniową, dla której wykres funkcji leży nie PONAD styczną tylko NA stycznej.

Podana definicja z PONAD jest definicją funkcji ŚCIŚLE WYPUKŁEJ. Dla takiej funkcji nierówność, która ją ilustruje powinna być nierównością ostrą.

Analogiczny błąd popełniono przy definiowaniu funkcji wklęsłej. (podał Piotr Goldstein)

Można to było zrobić tak jak choćby tutaj: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Convex_Function.svg (wersja niemiecka)

Zatem opisywanie jej przez położenie wykresu względem stycznej jest całkowicie błędne, gdyż w dowolnym punkcie styczna może nie istnieć.