Fòrça de Coriolis

Al sègle XV, se sabiá ja que los vents de l'emisfèri nòrd formavan una vòlta tornejant cap a drecha (sens de las agulhas del relòtge). Los navegadors portugueses que seguissián la còsta d'Africa en cerca de la rota maritima de las Índias encontravan de vents contraris al delà de l'eqüator. Bartolomeu Dias aguèt l'idèa qu'aqueles vents formavan tanben une vòlta tornejant cap a esquèrra (sens invèrse de las aigulhas del relòtge). Utilisava aquela intuicion per navegar mai rapidament cap al sud d'Africa e descobriguèt atal lo Cap de Bona Esperança^[1].

A la fin del sègle XVIII e al començament del sègle XIX, la mecanica coneguèt de grands desvolopaments teorics. Perqu'èra engenhaire, Gaspard Gustave Coriolis s'interessava a far de la mecanica teorica aplicable dins la compreneson e lo desvolopament de las maquinas industrialas. Es dins son article Sus las equacions del movement relatiu dels sistèmas de còrs (1835) que Coriolis descriguèt matematicament la fòrça que deuriá portar son nom. Dins aquel article, la fòrça de Coriolis apareis coma una compausanta suplementària a la fòrça centrifuga, ela tanben inerciala, sentida per un còrs en movement relativament a un referencial en rotacion, coma aquò poirriá se produire per exemple dins los engranatges d'una maquina.

L'argumentacion de Coriolis èra basada sus una analisi del trabalh e de l'energia potenciala e cinetica dins los sistèmas en rotadion. A l'ora d'ara, la demonstracion mai utilizada per ensenhar la fòrça de Coriolis utiliza las aisinas de la cinematica.

Foguèt pas qu'a la fin del sègle XIX qu'aquela fòrça faguèt son apareisson dins la literatura meteorologica e oceanografica. Lo tèrme « fòrça de Coriolis » apareguèt al començament del sègle XX.

 

En mecanica newtoniana, qualificam la fòrça de Coriolis de fòrça fictiva, o inerciala, a causa qu'existís sonque perque que l'observator se trapa dins un referencial en rotacion alara que cap de fòrça s'exercís per un observator dins un referencial galilean (o referencial inercial).

L'animacion a drecha nos mòstra doncas la diferéncia entre lo punt de vista d'un observator imobil dins un referencial inercial e aquel d'un observator que se desplaça amb un disc en rotacion dins lo meteis referencial. Pel primièr, la bilha fa pas que se desplaçar amb una velocitat constanta dempuèi lo centre del disc cap al bòrd. Per el, i a pas de fòrça en jòc e la bilha se desplaça en linha drecha^[2].

Pel segond (lo punch roge), la bilha se desplaça lo long d'un arc de cercle, cap a esquèrra, cambiant de contunh de direccion. Cal doncas una fòrça per explicar aquel deplaçament. Aquela pseudofòrça es la fòrce de Coriolis ${\displaystyle {\vec {F}}_{C}}$ . Es perpendiculara a l'axe de rotacion del referencial e al vector de la velocitat del còrs en movement. Se lo còrs s'alunha de l'axe de rotacion, ${\displaystyle {\vec {F}}_{C}}$  s'exercís dins lo sens contrari de la rotacion. Se lo còrs s'apròcha de l'axe de rotacion, ${\displaystyle {\vec {F}}_{C}}$  s'exercís dins lo meteis sens que la rotacion^[3].

La definidion precedenta perment sonque dificilament d'obtenir la forma exacta de la fòrça de Coriolis. Per aquò, cal efectuar dirèctament lo calcul de l'acceleracion dins la basa de refeéncia accelerada. Ne dedusèm qu'es possible de presentar ${\displaystyle {\vec {F_{C}}}}$  coma un produch vectorial en utilizant^[4] :

${\displaystyle {\vec {F_{C}}}=-2m\,\Omega (t)\,({\vec {e}}_{axe}\wedge {\vec {v}})}$ 

ont

• ${\displaystyle m~}$  es la massa del còrs,
• ${\displaystyle {\vec {e}}_{axe}}$  es un vector unitari parallèl a l'axe de rotacion,
• ${\displaystyle \Omega (t)~}$  es la velocitat angulara instantanèa de rotadion,
• ${\displaystyle {\vec {v}}}$  es la velocitat relativa del còrs al respècte del referencial en movement (vejatz acceleracion de Coriolis).

Pasmens, se pòt multiplicar la velocitat angulara ${\displaystyle \Omega }$  amb ${\displaystyle {\vec {e}}_{axe}}$ , çò que produch lo vector ${\displaystyle {\vec {\Omega (t)}}}$ . Aquel vector velocitat-pivotament instantanèu ${\displaystyle {\vec {\Omega (t)}}}$  descrich atal a l'encòp la direccion e la velocitat angulara del referencial.

${\displaystyle {\vec {F_{C}}}=-2m{\vec {\Omega }}(t)\wedge {\vec {v}}}$ 

O Una segonda definicion

${\displaystyle {\vec {F_{C}}}=-m\,{\vec {a}}_{c}}$ 

ont

• ${\displaystyle m~}$  es la massa del còrs,
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{c}}$  es lo vector acceleracion de Coriolis,

Dins l'imatge del disc e de la bilha vist de per avant, aquela darrièra limpa sens frotament e sola la fòrça de Coriolis es presenta dins la referéncia en rotacion. Dins lo cas del movement d'un còrs a la superfícia de la Tèrra, aquel darrièr a son movement pròpri a la superfícia del glòbe. Se desplaça tanben dins l'espaci, amb la rotacion de la planeta, en essent attirat per la gravitat. Subís doncas en mai una autra fòrça fictiva dicha fòrça d'inercia d'entraïnament. Ambedoas s'addicionan:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\text{inercia}}={\vec {F_{C}}}+{\vec {F}}_{\text{entraïnament}}}$ 

La fòrça d'entraïnament compren mai d'un tèrmes que la fòrça centrifuga. Coma l'avèm ja vist, la fòrça de Coriolis despend de la velocitat del còrs en movement. La fòrça centrifuga, vertadièrament la fòrça axifuga, se definís ela coma ${\displaystyle \scriptstyle -m{\vec {\omega }}\wedge {\vec {\omega }}\wedge {\vec {OM}}}$  e despend de la posicion (R) del còrs al respèctre de l'axe de rotacion instantanèu. Aquelas doas fòrças pòdon variar se ${\displaystyle \Omega (t)}$  varia mas per un ${\displaystyle \Omega (t)}$  donat, "se pòt dire" que la fòrça centrifuga es la compausanta estatica de la fòrça inerciala se manifestant dins lo referencial en rotacion, alara que la fòrça de Coriolis n'es la compausanta cinematica (cf fòrças d'inercia). Cal en mai comptar amb la fòrça d'inercia ortocentrifuga : ${\displaystyle -m{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\wedge {\vec {OM}}}$  ; senon, l'analisi seriá fals.

Vaquí un cas fòrça simple, qu'exigís l'intervencion de la fòrça de Coriolis per èsser interpretat:

Siá doas massas, M e P, descrivent lo meteis cercle a la meteissa velocitat angulara constanta, dins lo sens dirècte e dins lo sens indirècte.

• Los dos punchs descrivon lo meteis cercle, existís doncas la meteissa intensitat de fòrça vertadièra Fo centripèta agissent sus M e sus P.
• Dins li referencial tornejant R(+), M es imobil e P torneja a la velocitat dobla. Dins lo referencial tornejant R(-), situacion opausada.
• dins R(-): doncas l'acceleracion d'M es quadrupla. Alara la fòrça vertadièra Fo sus M cambièt pas e es anulada per la fòrça centrifuga. Cal doncas de segur qu'una autra fòrça intervenga per qu'M descriga lo cercle! e deu valer 4Fo e èsser centripèta. Es justament çò que dona la formula precedenta.
• dins R(+): meteis tipe d'analisi.

La fòrça de Coriolis permet l'interpretacion de fòrça fenomèns a la superfícia de la Tèrra; par exemple lo movement de las massas d'aire e dels ciclons, la deviacion de la trajectòria dels projectils a granda portada (cf Pariser Kanonen), lo cambi del plan del movement d'un pendul tal que montrat per Foucault dins son experiença del pendul de Foucault en 1851 al Panteon de París, atal que la leugièra deviacion cap a l'èst pendent la casuda liure.

L'aplicacion mai importanta de la pseudofòrça de Coriolis es sens de plan segur en meteorologia e en oceanografia. En efècte, los movements de granda escala de l'atmosfèra terrèstra son lo resultat de la diferéncia de pression entre diferentas regions de la sisa atmosferica mas son pro lents per que lo desplaçament degut a la rotacion de la Tèrra influéncia la trajectòria d'una mica d'aire. Consideram doncas la circulacion atmosferica mas las meteissas remarcas son validas pels movements de las aigas dins las mars.

 

Lo flús d'aire dins una massa d'aire al repaus s'efectua dempuèi las zonas de nauta pression cap a aquelas de bassa pression. Se la Tèrra èra pas en rotacion, la pression d'aire s'egaliseriá doncas lèu e l'atmosfèra vendiá lèu isotròp sens apòrt de calor. Per contre, amb lo rescalfament diferent als pòls e a l'Eqüator que manten una diferéncia de pression, auriam une eternal circulacion entre aqueles dos luòcs. Aquela darrièra circulacion existís prèp de l'eqüator que l'efècte de Coriolis ven nul perque ${\displaystyle {\vec {\Omega }}(t)}$  e ${\displaystyle {\vec {V}}}$  venon parallèls.

Pasmens, la Tèrra torneja e utilisant la definicion de la fòrça de Coriolis dins un referencial en rotacion, vesèm qu'aquela darrièra aumenta al meteis temps que la velocitat obtenguda pel gradient de pression aumenta mas dins la direccion perpendiculara. Aquò dona une desviacion cap a drecha dins l'emisfèri nòrd (esquèrra dins aquel del sud) d'una mica d'aire en movement. Atal la circulacion de l'aire será antiorària a l'entorn d'una depression e orària a l'entorn d'un anticiclone (emisfèri nòrd). S'agís aquí du vent geoestrofic^[5].

Dins la figura d'esquèrra, vesèm cossí aquò se produch prenent los quatre punchs cardinals coma començament de l'interaccion de las fòrças. Lo gradient de pression (flèchas blavas) amòrça lo desplaçament de l'aire mas la fòrça de Coriolis (flèchas rojas) lo fa desviar cap a drecha (flèchas negras). Lo gradient de pression s'ajusta en direccion amb aquel cambi atal que la fòrça de Coriolis çò qui fa cambiar de contunh la direccion de nòtra mica. Rapidament, lo gradient de pression e la fòrça de Coriolis s'opausan e lo desplaçament de l'aire s'estabiliza seguent una trajectòria perpendiculara al gradient e doncas parallèla a las linhas d'equipression (isobaras). En fach, a causa de la friccion, de la fòrça centrifuga e de las diferéncias de pression dins une region, l'equilibri es jamai vertadièrament atengut e la direccion demorará totjorn leugièrament cap al centre de bassa pression (vejatz Espirala d'Ekman).

Las depressions, tanben nomenadas ciclones, pòdon pas se formar prèp de l'eqüator ont la compausanta orizontala de la fòrça de Coriolis es nula. La variacion de la fòrça de Coriolis dona doncas diferents regims de circulacion atmosferica segon la latitud.

 

Una autra utilizacion practica de la fòrça de Coriolis es lo calcul de la trajectòria dels projectils dins l'atmosfèra. Un còp qu'un obús es tirat o qu'una fusada en vòl sosorbital agotèt son carburant, sa trajectòria es contrarotlada pas pus que par la gravitat e los vents (quand es dins l'atmosfèra). Supausam ara que levam la desviacion deguda al vent. Dins la referéncia en rotacion qu'es la Tèrra, lo sòl se desplaça al respècte de la trajectòria rectilinha que veiriá un observator imobil dins l'espaci. Doncas per un observator terrèstre, cal apondre la fòrça de Coriolis per saber ont lo projectil tornará al sòl.

Dins la figura de drecha, mostram la compausanta orizontala de la trajectòria qu'un còrs percorririá s'i aviá pas que la fòrça de Coriolis qu'agissès (compòrta pas la compausanta verticala del vòl, nimai la compausanta verticala de Coriolis). Supausam que le còrs se desplaça a velocitat constanta de l'eqüator cap al pòl Nòrd à altitud constanta del sòl, subís un desplaçament cap a drecha per Coriolis (emisfèri nòrd). Sa velocitat cambia pas mas sa direccion corba. Dins sa novèla trajectòria, la fòrça de Coriolis torna a angle drech e lo fach corbar encara mai. Fin finala, efectua un cercle complèt dins un temps donat que despend de sa velocitat (v) e de la latitud. Lo rai d'aquel cercle (R) es:

${\displaystyle \,R=v/f}$ 

ont${\displaystyle {\begin{cases}f{\text{es la projeccion orizontala de la }}f{\text{ de Coriolis}}\\\phi ={\text{latitud}}\\f=-2\sin(\phi )\Omega (t)\end{cases}}}$ 

Per una latitud a l'entorn de 45 gras, ${\displaystyle \,f}$  es de l'òrdre de 10⁻⁴ segonda⁻¹ (donant une frequéncia de rotacion de 14 oras). S'un projectil se mòu a 800 km/h (prèp de 200 m/s), l'equacion dona un rai de corbadura d'2 000 km. Es de segur impossible per un projectil sus una corbadura balistica de demorar en l'aira 14 ores e effectuará doncas solament una partida de la trajectòria corba.

Al contrari, la situacion es diferenta dins lo cas de l'ocean o de l'atmosfèra. En efècte, per una mica d'aire en movement dins une zona que la pression atmosferica es unifòrme (vaste pòrt de pression) o per una sisa oceanica en movement dins une zona de fòrça flac relèu dinamic, lo desplaçament inercial es nomenat oscillacion d'inercia. A las latitudas mejanas, amb una velocitat tipica de 10 m/s per l'aire, lo rai es de 100 km alara qu'amb de velocitats de 0,1 m/s per l'aiga, obtegam un rai de 1 km. Dins aqueles dos cases, aquelas oscillacions d'inercia, que lo rotacional es nul, devon pas èsser confondudas amb de revolums o remolins. Aquelas trajectòrias inercialas son de cercles descrichs en un mièg jorn pendulari dins lo sens contrari d'aquel de la circulacion au l'entorn d'une depression. Cal remembra que s'agís d'un cas ont i a pas de gradient de pression. En tota rigor, coma ${\displaystyle \,f}$  varia amb la latitud, aquela trajectòria es pas exactament un cercle, es una vòlta que ne se tampa pas. En efècta, la velocitat demorant constanta, la desviacion deguda a l'efècte Coriolis es mai fòrta a la latitud mai elevada de la trajectòria, seguís aprèp un periòde d'inercia, la mica d'aiga o d'aire se trapa leugièrament a l'oèst de son punch de despartir, tanplan dins l'emisfèri nòrd que dins l'emisfèri sud.

Fins ara, avèm considerat de movements segon l'orizontala unicament. Per que la Tèrra es pas plana e que l'atmosfèri a una espessor, los movements an mai sovent una compausanta verticala. La fòrça de Coriolis s'exercí doncas pas sonque parallèlament a la superfícia de la planeat mas tamben segon la verticala. Se pòt pensar per exemple a una mica d'aire en superfícia que se dirigiriá cap a d'una estèla del cèl dins lo sens de rotacion de la Tèrra. Coma aquela darrièra torneja, sa superfícia cambia de direccion al respècte d'aquela orientacion e la mica sembla s'alunhar cap al naut qu'una pseudofòrça l'atirant dins aquela direccion.

Aquel efècte es fòrça flac perque la fòrça de Coriolis a pauc de temps per s'exercir avant que la mica d'aire atenga la limita superiora o inferiora de l'atmosfèra mas influéncia qualues objètes coma los tirs balistics vists mai baut. Se miram los efèctes segon la direccion:

• Una mica d'aire davalanta será leugièrament destornada cap a l'Èst.
• Una autra en ascension será destornada cap a l'Oèst.
• Un movement cap a l'Èst montará leugièrament.
• Un movement cap a l'Oèst davalará leugièrament.

Al contrari d'una cresença populara, la fòrça de Coriolis duguda a la rotacion del la Tèrra es tròp flac per aver lo temps d'influenciar sul sens de rotacion de l'escorriment de l'aiga dins un lavabo que se voida. Coma o montrèt Arsher Shapiro e Lloyd Trefethen^[6], per percebre una tala influéncia, es necessari d'observar une massa d'aiga estabilizada dins una fòrça granda restanca circulara, d'un diamètre d'al mens mai de desenas de quilomètres per un efècte en centimètres. Dins lo sifon d'un lavabo, lo sens de rotacion de l'aiga es degut a la geometria del lavabo e als microcorrents d'aiga creat pendent l'emplissatge, o d'una agitacion de l'aiga^[7]. Es doncas possible de falsar lo resultat ne donant una impulsion a l'aiga, coma se pòt lo veire sus de videos, que l'experiença es prepausat als toristas sus l'eqüator terrèstre^[8].

Per calcular l'acceleracion de Coriolis, a, utilisam aquela relacion:

${\displaystyle a=2\omega \cdot v\cdot \ |\sin(\phi )|}$ 

Amb :

${\displaystyle \omega \,}$  : velocitat angulara del pivotament sideral de la Tèrra. ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{j_{\text{sideral}}}}\ rad\cdot s^{-1}}$ 

${\displaystyle j_{\text{sideral}}}$  : lo nombre de segondas dins un jorn sideral. Prenèm ${\displaystyle j_{\text{sideral}}}$  ${\displaystyle \approx 86164}$ 

${\displaystyle v\,}$  : Velocitat de l'aiga en movement. Prenèm ${\displaystyle v=1\ m\cdot s^{-1}}$ 

${\displaystyle \phi \,}$  : Latitud del luòc considerat. Prenèm ${\displaystyle \phi \approx 60^{\circ }}$ 

Aplicacion numerica: ${\displaystyle a={\frac {4\pi \cdot \sin(60^{\circ })}{86164}}\approx 0,0001\ m\cdot s^{-2}}$ 

O prèp de 100 000 còps mens que l'acceleracion deguda a la pesantor ${\displaystyle (g=9,81\ m\cdot s^{-2})}$ . Doncas la restanca se voida de segur avant que la desviacion deguda a Coriolis se faga sentir. Una experiença aisida de reproduire e que mòstra aquel punch es presentada par aquel subjècte sul site de Planète Terre^[9]. Per l'anecdòta, George Gamow parodièt aquela idèa comuna en afirmant aver constatat pendent un viatge en Austràlia que dins l'emisfèri sud, las vacas romiam fasent circular l'èrba al sens contrari del sens dins l'emisfèri nòrd.

La rotacion dins una tornada es mai sovent antiorària mas es pas degut a Coriolis. Dins aquel cas, la rotacion es iniciada per la configuracion dels vents dins la sisa d'aire prèp del sòl qui dona une rotacion orizontala de l'aire. Quand lo fòrt corrent ascendent d'un auratge verticaliza aquela rotacion e que se concentra, lo sens es ja determinat. Sièm encara aquí dins un domèni que lo movement de l'aire es fòrça tròp aviat per que l'efècte de Coriolis aja lo temps d'aver un impacte.

Dins lo cas d'un revolum de posca, l'iniciacion de la rotacion se fa per une diferéncia dels vents orizontals. Avèm alara un axe vertical de revolum creat ont la fòrça centrifuga es contrabalançada per aquela de la pression. La velocitat de las particulas es tròp aviada e sus un tròp pichon rai per que la fòrça de Coriolis aja lo temps d'agir. Las observacions montrèron que la rotacion dins aqueles vortèx es estatisticament divisada egalament entre orària e antiorària, quin que siá l'emisfèri.

La fòrça de Coriolis despend pas de la corbadura de la Tèrra, sonque de la seuna rotacion e de la latitud que se trapam.

La tèrra essent una esfèra, las mapas en doas dimensions son necessàriament una projeccion (vejatz per exemple la projeccion de Mercator) que dona una distorsion de la superfícia terrèstre. La trajectòria dels missils balistics, o dels obús, es corbada quand se dessenha la traça sus una carta mas la corbadura obtenguda es una soma de l'efècte de Coriolis, dels vents e de la projeccion que serviguèt a far la mapa. Mas aquelas doas darrièras son en general mai importantas que la desviacion de Coriolis.

• (fr) Aqueste article es parcialament o en totalitat eissit d’una traduccion de l’article de Wikipèdia en francés intitolat « Force de Coriolis ».

1. ↑ (fr)Jean Favier, Et l’on découvrit le Brésil, dins l'emission radiofonica Au fil de l'histoire, France Inter, 30 de març de 2008
2. ↑ "Lyons" (fr) Modelizacion de l'efècte Coriolis : Lavabós, Coriolis e rotacion de la Tèrra ed: Ministère de l'éducation, de la science et de la recherche; Benoît Urgelli
3. ↑ "Lyons"
4. ↑ "Lyons"
5. ↑ (fr) Écoulement en équilibre Departament de la sciéncias de la Tèrra e de l'atmosfèra; UQAM
6. ↑ "Lyons"
7. ↑ "Lyons"
8. ↑ Exemple de video tentant de mostrar l'accion de la fòrça de Coriolis sus l’eqüator terrèstre. L'aiga es pas establa dins las doas primièras demonstracions, al nòrd e al sud.
9. ↑ (fr) Lavabos, Coriolis et rotation de la Terre; ENS Lyon

• Pels trabalhs originals de Coriolis avent menat a la derivacion de la fòrça de Coriolis:
  • (fr)Coriolis, G.G., 1832 : Mémoire sur le principe des forces vives dans les mouvements relatifs des machines. Journal de l'école Polytechnique, Vol 13, 268-302
  • (fr)Coriolis, G.G., 1835 : Mémoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. Journal de l'école Polytechnique, Vol 15, 142-154 Transcripcion electronica

• Per l'istòria:
  • (en)Persson, Anders, 1998: How Do We Understand the Coriolis Force? Bulletin of the American Meteorological Society, Vol 79, No 7

• Gaspard Gustave Coriolis
• Acceleracion de Coriolis

• Balistica:
  • desviacion cap a l'èst
  • Pariser Kanonen
• Meteorologia:
  • Anticiclone/Ciclone
  • Depression
  • Vent
• Oceanografia:
  • Remontada d'aiga (« upwellings »)
  • Corrent marin
• Autres:
  • Tren gravitacional
  • Pendul de Mach
  • Pendul de Foucault

• (fr)Sur les equations du moivement relatif des systèmes de corps, art. de 1831 e 1835 de Coriolis, en linha e comentats sul site BibNum www.bibnum.education.fr.