Leonhard Euler

Leonhard Euler^[1] (15 d'abril de 1707, Basilèa – 18 de setembre de 1783, Sant Petersborg) es un matematician e fisician soís dau sègle XVIII. Amic dei Bernoulli, foguèt professor de l'Acadèmia dei Sciéncias de Sant Petersborg e de l'Acadèmia prussiana dei Sciéncias. Cercaire prolific, foguèt a l'origina de descubèrtas e d'avançadas importantas dins lei domenis de l'analisi matematica, de la teoria dei nombres e de la geometria. Fondèt tanben la teoria dei grafs e participèt a l'introduccion e a la difusion de plusors notacions matematicas coma lei simbòls f(x), e, i, Σ ò π. En fòra dei matematicas, aguèt un ròtle dins l'estudi dei fluids, de la mecanica celèsta e de l'optica.

Leonhard Euler nasquèt lo 15 d'abriu de 1707 dins la vila de Basilèa. Pastor, son paire Paul Euler (1670-1745) foguèt nomat un an pus tard dins un vilatge vesin, Riehen, onte la familha anèt s'installar. Sa maire, Margaretha Brucker (1677-1761), èra la filha d'un pastor. Fòrça piós e devòt, lo pareu aguèt egalament doas filhas. Lei capacitats intellectualas de Leonhard Euler foguèron rapidament descubèrtas per son paire que demandèt a son amic Johann Bernoulli (1667-1748) de li ensenhar lei matematicas^[2]. Aquò foguèt pas possible car Bernoulli èra ocupat per sei recèrcas mai lo matematician poguèt conselhar quauquei libres e Leonhard Euler foguèt sovent invitat en cò d'eu per discutir de subjèctes scientifics ò filosofics. Foguèt finalament Johannes Burckhardt (1691-1743), matematician e teologian, que s'ocupèt de l'ensenhament avançat de l'enfant. En parallèl, son paire l'inscriguèt vèrs 1716 dins un licèu locau.

Dins aqueu quadre, Leonhard Euler realizèt de progrès accelerats e intrèt a l'Universitat de Basilèa en 1720. I obtenguèt una mestria de filosofia tres ans pus tard. Puei, gràcias au sostèn de Bernoulli^[3], poguèt perseguir seis estudis en matematicas e obtenir un diplòma dins aqueu domeni en 1726. Amb l'ajuda de Daniel e de Nicholas Bernoulli, lei fius de Johann, obtenguèt un pòste universitari de professor de fisiologia a Sant Petersborg. Acceptèt e anèt s'installar dins la capitala russa en abriu de 1727.

Creada en 1724, l'Acadèmia dei Sciéncias de Sant Petersborg èra una institucion destinada a melhorar l'educacion en Russia dins l'encastre de la politica de modernizacion dau país menada per Pèire lo Grand (1682-1725). Dispausava donc d'un budget important e de ressorsas scientificas provesidas per lo tsar ò la noblesa russa. De mai, lo nombre d'estudiants i èra encara feble e lei professors èran fòrça encoratjats a s'investir dins la recèrca. L'endrech atraiguèt donc mai d'un jove scientific d'europèu. En particular, se formèt una comunautat germanofòna qu'integrèt Euler e lei Bernoulli.

Dins l'Acadèmia, Euler obtenguèt finalament un pòste dins lo departament dei matematicas, plaçat sota la direccion de Daniel Bernoulli. Euler avancèt rapidament dins la ierarquia per venir professor en 1731 e cap dau departament de matematicas dos ans pus tard après la partença de Daniel Bernoulli, lassat de la censura e de l'ostilitat manifestada per lei Rus còntra leis estrangiers durant lo rèine de Pèire II (1727-1730). Durant aqueu periòde, Euler se maridèt amb Katharina Gsell (1707-1773) qu'èra la filha d'un pintre soís, Georg Gsell (1673-1740), invitat en 1716 per Pèire I^èr[4]. Lo pareu aguèt 13 enfants mai solament 5 subrevisquèron.

A la fin deis ans 1730, la situacion deis estrangiers en Russia se degradèt en causa de rivalitats amb la noblesa russa. Elisabèta de Russia (1741-1762) sostenguèt aqueu movement car voliá limitar l'influéncia germanica au sen dau govèrn e de l'administracion. En 1741, Euler quitèt donc Sant Petersborg après aver recebut una invitacion dau rèi Frederic II de Prússia (1740-1786).

Euler demorèt en Alemnanha de 1741 a 1766, principalament en Berlin. I trabalhèt a l'Acadèmia dei Sciéncias Prussiana. Pasmens, rompèt pas totalament amb Russia car perseguiguèt sa collaboracion amb l'Acadèmia de Sant Petersborg per lei questions regardant de trabalhs iniciats dins lo corrent deis ans 1730. Son periòde alemand veguèt la publicacion de plusors obratges importants : Introductio in analysin infinitorum (« Introduccion a l'analisi deis infinidament pichons » en occitan) en 1748 e Institutiones calculi differentialis (« Tractat de calcul diferenciau ») en 1755. Euler escriguèt tanben aperaquí 200 letras a la princessa d'Anhalt-Dessau. La publicacion de l'ensemble d'aquela correspondéncia a donat naissença au libre Letras a una princessa d'Alemanha.

En fòra de son trabalh, Euler aguèt de dificultats per s'adaptar a la vida de la cort de Frederic II. D'efiech, Euler i participava a mai d'un debat dins de domenis que fasián pas partida de seis especialistas. Seis avejaires, generalament simples, venguèron l'objècte dei trufariás de personalitats coma Voltaire. Lo rèi èra tanben decebut de l'abséncia d'aplicacions concrètas dei recèrcas teoricas dau matematician. En parallèl, sa santat se degradèt e Euler venguèt quasi bòrni de l'uelh drech^[5]. Pasmens, aquel andicap aguèt pas de consequéncias sus son trabalh car Euler poguèt compensar gràcias a sei capacitats intellectualas e a l'ajuda d'assistents^[6].

En 1766, Euler s'entornèt a Sant Petersborg a la demanda de Catarina II. La situacion deis estrangiers s'i èra melhorada e Euler obtenguèt de la sobeirana de conditions avantatjosas e lo sostèn de la direccion de l'Acadèmia. Pasmens, deguèt faciar la destruccion de son ostau per un incendi en 1771 e la mòrt de sa femna en 1773. Se tornèt maridar rapidament amb Salomé Abigail Gsell (1723-1794), un sorrastra de sa femna.

Euler contunièt de trabalhar fins a sa mòrt lo 18 de setembre de 1783. La causa de sa disparicion es una emorragia cerebrala. Foguèt enterrat amb sa premiera esposa dins lo cementèri protestant situat sus l'illa de Vassilievski. Au sègle XIX, sei rèstas foguèron transferits au monastèri Alexandre Nevski après la barradura dau cementèri.

Gràcias a la difusion importanta de seis obratges principaus, Euler a participat a l'introduccion e a l'adopcion de plusors notacions matematicas. Entre lei pus importantas, se pòdon citar :

• « f(x) » per designar una foncion f aplicada a un argument x.
• lei notacions modèrnas per lei foncions trigonometricas.
• « e » per lo nombre e, egalament de còps dich nombre d'Euler.^[7].
• « i » per designar l'unitat imaginària^[8].
• « Σ » per designar una sòma de plusors tèrmes matematicas.

Enfin, se foguèt pas à l'origina de son invencion, aguèt un ròtle major dins la difusion de la notacion « π ».

Aisse important dau desvolopament dei matematicas durant lo sègle XVIII, lo calcul infinitesimau foguèt una partida importanta dau trabalh d'Euler que contunièt lei recèrcas dei Bernoulli dins aqueu domeni. En particular, utilizèt lei serias numericas e lei serias entièras per trobar d'expressions dau nombre e e de la foncion exponenciala :

${\displaystyle \mathrm {e} =\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {1}{1\,!}}+{\frac {1}{2\,!}}+\cdots +{\frac {1}{n\,!}}\right)\cdot }$ ${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n\,!}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0\,!}}+{\frac {x}{1\,!}}+{\frac {x^{2}}{2\,!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n\,!}}\right)\cdot }$

Totjorn en utilizant lei serias, Euler trobèt la solucion dau problema de Basilèa en 1735 :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\dfrac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\cdot }$

Pasmens, l'apòrt principau d'Euler foguèt la generalizacion de l'utilizacion de la foncion exponenciala e dei logaritmes dins lei demonstracions matematicas. Aquò permetèt la descubèrta de resultats novèus coma l'extension dei logaritmes ai nombres negatius e ai nombres complèxs. Ansin, establiguèt la formula d'Euler qu'es considerada coma una formula majora dei matematicas :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \,\sin(\varphi ).\,}$

Un cas particular d'aquela formula s'obtèn quand l'argument φ es egau a π :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\,\mathrm {i} \,\pi }+1=0\,}$

Dich identitat d'Euler^[9], permet de liar plusors constantas gràcias a l'addicion, a la multiplicacion e a l'exponenciala.

Euler s'interessèt a la teoria dei nombres probablament après son rescòntre amb lo matematician alemand Christian Goldbach (1690-1764) que trabalhava a l'Acadèmia de Sant Petersborg. La màger part de son òbra dins aqueu domeni es liada a de desvolopaments dei trabalhs dau matematician occitan Pèire de Fermat (1601-1655). Aquò li permetèt d'establir un liame entre la distribucion dei nombres premiers e l'analisi matematica.

Entre sei resultats pus importants, se pòdon mencionar lei demonstracions deis identitats de Newton, dau pichon teorèma de Fermat, dau teorèma dei dos carrats de Fermat e de la divergéncia de la seria deis invèrs dei nombres premiers (gràcias a la descubèrta d'un liame amb la foncion zèta de Riemann). Definiguèt tanben la foncion indicatritz que permet de donar, per un nombre entièr n, lo nombre d'entièrs positius inferiors e premiers amb n. En utilizant lei proprietats d'aquela foncion, aquò li permetèt de generalizar lo pichon teorèma de Fermat per trobar lo teorèma d'Euler. Enfin, conjecturèt la lèi de reciprocitat quadratica que foguèt demonstrada per Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

D'un biais pus anecdotic, Euler descurbiguèt en 1772 lo nombre premier 2³¹ – 1 que demorèt lo pus grand nombre premier conegut fins a 1867.

En geometria, lei trabalhs d'Euler menèron principalament a la descubèrta de proprietats regardant lei ponchs de remarca d'un triangle. En particular, demostrèt que lei pès dei tres autors (H₁, H₂ e H₃), lei mitans dei tres costats (T₁, T₂ e T₃) e lei mitans de cada segment anant de l'ortocentre a una cima (J₁, J₂ e J₃) son situats sus un meteis ceucle, dich ceucle d'Euler. Mostrèt tanben que l'ortocentre, lo centre dau ceucle circonscrich, lo centre de gravitat e lo centre dau ceucle d'Euler son alinhats. La drecha que pòrta aquelei ponchs es dicha drecha d'Euler.

Euler introduguèt tanben leis angles d'Euler que permèton de descriure l'orientacion d'un solid ò d'un referenciau a respècte d'un trièdre cartesian de referéncia. Aqueleis angles son dichs angle de precession, angle de nutacion e de rotacion pròpria. Aqueu sistèma a d'aplicacions importantas en mecanica.

En 1736, Euler trobèt la solucion dau problema dei sèt pònts de Königsberg. La question pausada èra de cercar lo camin permetent de passar un còp per lei sèt pònts situats entre leis illas dau centre de la vila e de tornar venir a son ponch de partença. Èra enebit de passar dos còps per lo meteis pònt. Euler demostrèt l'abséncia de solucion e determinèt la condicion qu'auriá permés son existéncia : que cada ensemble geografic dau problema siegue agantat per un nombre par de pònts. Aqueu resultat marquèt la fondacion de la teoria dei grafs^[10].

Durant sa carriera, Euler s'interessèt tanben a la resolucion de problemas analitics dins de domenis scientifics coma la fisica. Facilitèt donc la descripcion e l'aplicacion dei nombres de Bernoulli, dei serias de Fourier, dei diagramas de Venn, dei nombres d'Euler, dei constantas e e π, dei fraccions, deis eqüacions diferencialas (formula d'Euler-Maclaurin) e deis integralas (metòde d'Euler). Desvolopèt egalament d'otís permetent de melhorar la representacion d'un problema fisic.

Estudièt tanben l'aplicacion dei matematicas a la musica. En particular, redigiguèt en 1739 una teoria matematica de la musica (Tentamen novæ theoriæ musicæ). Pasmens, aquela partida de son trabalh recebèt gaire d'atencion tant de part dei musicians que dei matematicians.

Euler participèt tanben au desvolopament de la mecanica dei fluids, de l'astronomia e de l'optica. Dins lo premier domeni, participèt a l'elaboracion de la teoria d'Euler-Bernoulli qu'es un modèl utilizat en resisténcia dei materiaus. En astronomia, calculèt l'orbita de divèrseis objèctes coma de cometas. Aquò permetèt de melhorar lei conoissenças sus la natura dei cometas. Enfin, en optica, critiquèt la teoria corpusculària de Newton. Son trabalh favorizèt l'adopcion de la teoria ondulatòria prepausada per Christian Huygens que dominèt la fisica fins a l'aparicion de la mecanica quantica.

Euler es tanben coneguda per aver illustrat, amb l'ajuda de corbas sarradas, lo rasonament sillogistica. Per aquò, prepausèt un ensemble de diagramas matematics que son desenant dichs diagramas d'Euler.

Educat segon lei principis dau protestantisme, Euler èra un teïsta convencut que s'opausèt fòrça a l'ateïsme. En particular, combateguèt lei tèsis dau filosòf Christian Wolff (1679-1754). Foguèt tanben un adversari de la teoria metafisica exprimida per Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) dins la Monadologia.

Euler es considerat coma una personalitat majora de l'istòria dei matematicas e son nom es estat donat a un nombre fòrça important d'objèctes ò de proprietats matematics ò fisics. Son trabalh venguèt la basa de desvolopaments importants durant lo sègle XIX e sei descubèrtas son desenant una partida importanta dei programas d'ensenhaments avançats dei matematicas. En causa d'aquela importància, Euler es l'objècte de mai d'un onor. Per exemple, son nom foguèt donat a l'asteroïde (2002) Euler (descubèrt en 1973) ò a un cratèr luna.

1. ↑ Prononciation en alemand: [ˈɔʏlɐ].
2. ↑ Paul Euler aviá egalament seguit lei cors de Jakob Bernoulli (1654-1705)
3. ↑ D'efiech, Paul Euler auriá preferit veire son fiu s'orientar vèrs la teologia, lo grèc e l'ebrieu per venir pastor.
4. ↑ En particular, venguèt conservator de la Kunstkamera.
5. ↑ Aquò èra la consequéncia d'una malautiá grèva contractada en 1735.
6. ↑ Dins lei fachs, lo nombre de « publicacions » d'Euler aumentèt durant sa carriera. Per exemple, en 1775, èra capable d'emetre un document cada setmana (B. F. Finkel, « Biography- Leonard Euler », Amer. Math. Month., vol. 4, no 12,‎ 1897, p. 300).
7. ↑ Es tanben de còps dich constanta de Neper.
8. ↑ (en) Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1991, pp. 439-445.
9. ↑ Pasmens, aquela relacion foguèt pas descubèrta per Euler. D'efiech, èra ja coneguda per Roger Cotes (1682-1716).
10. ↑ (en) Gerald Alexanderson, « Euler and Königsberg's bridges: a historical view », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 43,‎ julhet de 2006, p. 567.