Spredning

Et kvantitativt mål for størrelsen av spredning på enkeltpartikler er spredningstverrsnittet som betegnes med den greske bokstaven σ. Dette er et areal hvis størrelse vanligvis har lite å gjøre med hvor stor sprederen er, men heller hvor lang dens rekkevidde er. Desto lengre denne er, desto flere av de innkommende partiklene vil forandre retning og desto større blir spredningstverrsnittet. Det skjer for eksempel når partiklene har elektrisk ladning og de påvirker hverandre med Coulomb-kraften. Dermot har den sterke kjernekraften en meget kort rekkevidde slik at de tilsvarende spredningstverrsnittene blir mye mindre og måles i den spesielle enheten barn.

Intensiteten av en lysstråle som går gjennom et medium eller materiale, vil svekkes ved at en del av det innkommende lyset blir spredt til sides. Men en del vil også bli absorbert ved partikler i materialet. Slik spredning og absorpsjon skjer ofte samtidig. For eksempel ser en gjenstand rød ut, fordi komplementærfargen absorberes, mens den røde delen reflekteres ved spredning.^[2]

Den totale svekkelse av det innkommende lyset skyldes begge effektene og beskrives ved Beer-Lamberts lov. Den sier at etter å ha tilbakelagt en veistrekning z, er den innkommende intensiteten I₀ redusert til

${\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\kappa z}}$ 

hvor konstanten κ er den totale absorpsjonskoeffisienten. Den uttrykker hvor mye lys som forsvinner fra fremoverretningen i et tynt sjikt av materialet. Hvis hver partikkel i sprederen har et totalt spredningstverrsnitt σ_T = σ_s + σ_a  som skyldes både spredning og absorpsjon, er den gitt som

${\displaystyle \kappa =n\sigma _{T}}$ 

når materialet har en tetthet n med slike partikler som spreder. Det totale spredningstverrsnittet kan derfor måles direkte fra denne reduksjonen av intensiteten. Samme lov beskriver også det totale antall partikler som absorberes og spredes bort fra fremoverretning av røntgenstråling og radioaktiv stråling. Dette benyttes i tilsvarende stråleterapier.^[3]

Spredning av partikler kan i kvantemekanikken beskrives på samme måte som spredning av bølger. Hvis den kommer inn langs z-aksen med bølgelengde λ, kan den beskrives som den plane bølgen e^ikz  hvor k = 2π /λ er bølgetallet. Den elastisk spredte bølgen har samme bølgelengde og er en utgående kulebølge. Hvis θ er spredningsvinkelen, vil størrelsen til denne bølgen være gitt ved spredningsamplituden f (θ ). Generelt vil den ha en kompleks verdi. På dette vis resulterer spredningen i den totale bølgen

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){e^{ikr} \over r}}$ 

der z = r cosθ. Den beskriver hele spredningsprosessen og er gyldig for både lys og partikler.^[4]

Mens amplituden f (θ ) bestemmer det differensielle virkningsstverrsnittet for elastisk spredning ved sammenhengen

${\displaystyle {d\sigma \over d\Omega }=|f(\theta )|^{2}}$ ,

vil den også inneholde informasjon om det totale spredningstverrsnittet σ_T. Det følger fra det optiske teoremet som sier at

${\displaystyle \sigma _{T}={4\pi \over k}{\text{Im}}f(\theta =0)}$ 

Fysisk skjer dette ved destruktiv interferens mellom den innkommende bølgen i fremover-retning og den elastisk spredte bølgen i samme retning. På den måten blir intensiteten av den innkommende strålingen svekket, noe som definerer det totale virkningstverrsnittet.^[2]

To ikke-relativistiske partikler med masser m₁ og m₂ som kolliderer med hverandre, utgjør et tolegemeproblem. Etter kollisjonen vil de ved elastisk spredning opptre med de samme massene, men bevege seg i andre retninger. Denne prosessen kan formelt beskrives som

${\displaystyle 1+2\longrightarrow 1'+2'}$ 

Hvis hastighetene til partiklene opprinnelig er v₁ og v₂, vil de etter kollisjonen betegnes som v'₁ og v'₂. Bevarelse av total impuls betyr nå at

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}'+m_{1}\mathbf {v} _{2}'}$ 

Da kollisjonen er antatt å være elastisk, vil også den totale energien før og etter kollisjonen være den samme,

${\displaystyle {1 \over 2}m_{1}^{2}v_{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}^{2}v_{2}^{2}={1 \over 2}m_{1}^{2}{v'_{1}}^{2}+{1 \over 2}m_{2}^{2}{v'_{2}}^{2}}$ 

Dette kravet vil være avgjørende ved bestemmelse av partiklenes hastigheter etter spredningen.^[5]

Massesenteret for de to partiklene vil da bevege seg med en konstant hastighet

${\displaystyle \mathbf {v} _{c}={m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2} \over m_{1}+m_{2}}}$ 

Av denne grunn er det derfor ofte enklere å beskrive spredningsprosessen i dette massesentersystemet. Her vil de to partiklene ha hastighetene

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{c}={m \over m_{1}}\mathbf {v} }$ 

${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{c}=-{m \over m_{2}}\mathbf {v} }$ 

hvor

${\displaystyle m={m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$ 

er partiklenes reduserte masse og v = v₁ - v₂ = u₁ - u₂ deres relative hastighet. I dette spesielle referansesystemet har de to partiklene like store og impulser i motsatt retning da m₁u₁ = - m₂u₂ = m v = p. Hvis den ene partikkelen spredes i retning θ, vil derfor den andre spredes i motsatt retning π - θ. Istedenfor å betrakte en kollisjon mellom to partikler, har man her spredning av én partikkel på et senter som ligger i ro. Den kinematiske beskrivelsen er derfor mye enklere i massesentersystemet.^[5]

Eksperimentelt er det ofte enklest å studere elastisk spredning ved at sprederen ligger i ro i laboratoriet. Den innkommende partikkelen har i dette systemet en hastighet v₁, mens v₂ = 0. Den relative hastigheten er da v = v₁, mens massesenteretet beveger seg med hastighet v_c = (m/m₂)v₁. Etter kollisjonen vil de begge bevege seg med forskjellige hastigheter i ulike retninger. Hvis spredningsvinkelen for partikkelen med masse m₁ er φ, er det da av interesse å finne den tilsvarende vinkelen θ i massesentersystemet.

Etter kollisjonen har denne partikkelen hastighetene v'₁ og u'₁ = v'₁ - v_c i disse to referansesystemene. Tar man komponentene av denne sammenhengen langs og vinkelrett på den innkommende retningen, får man ligningene

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'\cos \theta &=v_{1}'\cos \phi -v_{c}\\u_{1}'\sin \theta &=v_{1}'\sin \phi \end{aligned}}}$ 

I massesentersystemet er hastighetene før og etter kollisjonen de samme slik at u'₁ = u₁ = (m/m₁)v₁. Ved å eliminere hastigheten v' ₁ fra de to ligningene, står man dermed igjen med sammenhengen

${\displaystyle \tan \phi ={\sin \theta \over \cos \theta +m_{1}/m_{2}}}$ 

mellom spredningsvinklene i de to systemene.^[6]

Hvis den innkommende partikkelen er mye lettere enn sprederen, vil m₁/m₂ ≪ 1 slik at man tilnærmet har φ = θ. Massesentersystemet er da sammenfallende med laboratoriesystemet. Derimot i det speseille tilfellet at de to massene er like store, finner man at φ = θ/2 ved bruk av en trigonometrisk identitet for den halve vinkel. Spredningsvinkelen i laboratoriesystemet kan derfor ikke bli større enn 90°.

Ved spredning av to partikler, kan nye partikler oppstå. På den måten kan en slik prosess gi mer interessant informasjon enn hva som resulterer fra elastisk spredning. Derfor er uelastisk spredning av stor betydning både i kjernefysikk og elementærpartikkelfysikk.

Et historisk viktig eksempel er den første spaltingen av en atomkjerne som Ernest Rutherford observerte i 1919. Han studerte spredning av α-partikler og oppdaget at når disse kolliderte med nitrogenatomer, kom det ut H-kjerner (protoner) med stor energi. Videre undersøkelser viste at den underliggende kjernereaksjonen var α + ¹⁴N → ¹⁷O + p som er en typisk, uelastisk prosess.^[6]

Generelt kan man betegne en slik spredningsprosess ved reaksjonsligningen

${\displaystyle 1+2\longrightarrow 3+4}$ 

når det er to partikler i sluttilstanden. Den må oppfylle impulsbevarelse som ved elastisk spredning, men bevarelse av energi må ta hensyn til at massene til de to utgående partiklene m₃ og m₄ vil være forskjellige fra massene til de kolliderende partiklene. Dette gjøres ved bruk av masseenergiloven slik at den totale energien for hver av partiklene kan skrives som E_i = m_i c² + K_i  hvor c er lyshastigheten. Uttrykket for den kinetiske energien K_i  er som ved elastisk spredning når partiklene har ikke-relativistiske hastigheter v ≪ c. Ved igjen å anta at partikkel m₂ ligger i ro i laboratoriesystemet, kan dermed energibalansen skrives som

${\displaystyle K_{1}+m_{1}c^{2}+m_{2}c^{2}=m_{3}c^{2}+K_{3}+m_{4}c^{2}+K_{4}}$ 

Mens den totale kinetiske energien i laboratoriesystemet til de kolliderende partiklene er gitt ved K₁ alene, vil den i massesentersystemet få bidrag fra begge partiklene. Fra hastighetene u₁ og u₂ finner man den som K_cm = (m/m₁)K₁. Dennes størrelse er avgjørende for å kunne produsere nye partikler m₃ og m₄ som kanskje er tyngre enn de opprinnelige partiklene. Den kritiske verdien er bestemt ved at begge de nye partiklene blir produsert liggende i ro i massesentersystemet, det vil si

${\displaystyle K_{cm}(crit)+m_{1}c^{2}+m_{2}c^{2}=m_{3}c^{2}+m_{4}c^{2}}$ 

I laboratoriesystemet tilsvarer dette derfor den kinetiske energien

${\displaystyle K_{1}(crit)=-\,(1+m_{1}/m_{2})Q}$ 

hvor den såkalte Q-verdien for prosessen er

${\displaystyle Q=(m_{1}+m_{2}-m_{3}-m_{4})c^{2}}$ 

Når partiklene i sluttilstanden er tyngre enn partiklene i begynnelsestilstanden, er Q < 0. Det betyr at den spredende partikkel må ha tilstrekkelig høy energi i laboratoriesystemet for at prosessen i det hele tatt vil finne sted.^[3]

• Rayleigh-spredning
• Mie-spredning
• Rutherford-spredning
• Thomson-spredning
• Delbrück-spredning
• Compton-spredning